미분 방정식을 만족하는 2 배 미분 함수

Aug 18 2020

질문은 ~이야 :

허락하다 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 두 배로 미분 할 수있는 기능

$f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x), x\in \mathbb{R} $ 어디 $g(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$

다음 중 참인 것은 무엇입니까?

$(1)$ 만약 $f(0)=f'(0)=1$ , 다음 $f(3)\lt 3$

$(2)$ 만약 $f(0)=f'(0)=2$ , 다음 $f(4)\lt 4$

$(3)$ 만약 $f(0)=f'(0)=3$ , 다음 $f(3)=5$

$(4)$ 만약 $f(0)=f'(0)=3$ , 다음 $f(3)=6$

내 생각:-

먼저 다음에 대해 논의하겠습니다. $(3)$$(4)$

허락하다 $g(x)=0$

그런 다음 몇 가지 계산을 통해

$f(x)=3(\sin x+\cos x)$ 폐기하기에 적합한 후보로 $(3)$$(4)$

여기, 옵션 $(3)$

$f(3)=5$

$\Rightarrow \sin 3+\cos 3=\frac 53$

양쪽을 제곱

$1+\sin 6=\frac{25}9$

$\sin 6=\frac {16}9 \gt 1$, 모순

비슷하게 $f(3)= 6$ 모순을 줄 것이다

$\sin 3+\cos 3=2$ (암시 $\sin 3=\cos 3=1$ 불가능합니다).

따라서 우리는 $(1)$$(2)$

참고 : 위 예제의 약간 변형은 다음 조건을 충족합니다. $(1)$$(2)$

나는 다음과 같은 간단한 예를 시도했다. $g(x)=1 $$f(x)=x$ 또는 이차와 비슷하지만 결론에 도달 할 수 없습니다.

옵션을 도와주세요 $(1)$$(2)$. 시간 내 줘서 고마워.

답변

1 LutzLehmann Aug 19 2020 at 14:31

에너지 함수 고려 $E=f(x)^2+f'(x)^2$. 그때$$ \frac{d}{dx}E=2f'(x)(f''(x)+f(x))=-2xg(x)f'(x)^2 $$ 그래서 $E$해결책을 따르고 있습니다. 내가 볼 수있는 한 이것은 1)과 2)가 사실임을 의미합니다.

1에서) $f(x)\le\sqrt{E(x)}\le\sqrt{E(0)}=\sqrt2<3$ 그리고 비슷하게 2) $f(x)\le\sqrt8<4$. 3)과 4)에 들어가는 것과 같은 방식으로$f(x)\le\sqrt{18}<5$, 주어진 값에 도달 할 수 없도록합니다.