"미묘한"동 형사상 테스트 문제 : $\mathbb{Z}\ltimes_{A} \mathbb{Z}^5\cong \mathbb{Z}\ltimes_{B}\mathbb{Z}^5$ 아니면 아니?
편집 : 나는 행렬에 실수를했습니다. 이제 수정되었습니다.
며칠 전에 나는 이 질문을했다 . 거기에서 답변자들은 저에게 그 사건과 다른 사건을 해결하기위한 훌륭한 힌트를주었습니다. 그러나 해당 그룹을 구분해야하는 두 개의 행렬을 찾았고 이러한 기술 중 어느 것으로도 문제를 해결할 수 없습니다 (아래 참조).
나는 이러한 행렬과 그룹을 분석하는 작업을 거의 완료했으며 다음이 내가 구별해야 할 마지막 예라고 생각합니다.
허락하다 $A=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0 \\ 0&1&-1&0&0\\ 0&0&0&0&-1\\0&0&0&1&1\end{pmatrix}=1\oplus A'$ 과 $B=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&0&-1&1&0\\0&1&-1&0&0\\0&0&0&0&-1\\0&0&0&1&1\end{pmatrix}=1\oplus B'$.
질문 : 동형인가 $G_A=\mathbb{Z}\ltimes_A \mathbb{Z}^5$ 과 $G_B=\mathbb{Z}\ltimes_B\mathbb{Z}^5$? 다시 한 번 그들은 그렇지 않다고 생각합니다.
생각과 발전 :
$\bullet$ $B$ 결합되지 않는다 $A$ 또는 $A^{-1}$ 에 $\mathsf{GL}_5(\mathbb{Z})$ 그러나 그들은 $\mathsf{GL}_5(\mathbb{Q})$. 둘 다 차수가 6이고 고유 값이 1입니다.
$\bullet$나는 (이전 질문에서 답변자들이 가르쳐 준대로) 11 개까지 지수 중심 클래스 2 개와 3 개를 계산했고 결과적으로 동형 pQuotients를 얻었다. 프레젠테이션은 다음과 같습니다.
> GA := Group<a,b,c,d,e,t | (a,b), (a,c), (a,d), (a,e), (b,c), (b,d), (b,e), (c,d), (c,e), (d,e),
> a^t=a, b^t=b^-1*c^-1, c^t=b, d^t=d*e^-1, e^t=d>;
>
> GB := Group<a,b,c,d,e,t | (a,b), (a,c), (a,d), (a,e), (b,c), (b,d), (b,e), (c,d), (c,e), (d,e),
> a^t=a, b^t=b^-1*c^-1, c^t=b, d^t=b*c*d*e^-1, e^t=b*c*d>;
$\bullet$내가 발견 한 이 논문 추론 8.9 (소유 4.2 데프 4.3 CF) 내가 가진 경우 그$\mathbb{Z}\ltimes_{A'} \mathbb{Z}^4$ 과 $\mathbb{Z}\ltimes_{B'}\mathbb{Z}^4$ 반 직접 제품은 동형이 아닐 것입니다. $B'\not\sim A',(A')^{-1}$ 에 $\mathsf{GL}_5(\mathbb{Z})$ (그리고 둘 다 고유 값으로 1을 갖지 않기 때문에) 그러나 나는 이러한 반 직접 제품을 내가 가진 원래 제품과 연결하는 방법을 모릅니다.
$\bullet$ $G_A^{ab}\cong G_B^{ab}\cong \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_3$. 또한 몫을 계산하려고했습니다.$G/\gamma_i(G)$ (에 대한 $i\geq 2$) 어디 $\gamma_i=[\gamma_{i-1}(G),G]$ 과 $\gamma_1=[G,G]$ 그들 모두는 동형입니다.
$\bullet$ 생각 $\Gamma_A=(G_A/Z(G_A))$ 과 $\Gamma_B=(G_B/Z(G_B))$ 나는 얻다 $\Gamma_A\cong \mathbb{Z}_6\ltimes_{A'}\mathbb{Z}^4$ 과 $\Gamma_B\cong \mathbb{Z}_6\ltimes_{B'}\mathbb{Z}^4$ 그리고 나는 abelianization ($\mathbb{Z}_6\oplus\mathbb{Z}_3$) 및 pQuotients도 여기에 있지만 구분할 수 없습니다.
> Gamma_A := Group<a,b,c,d,t | (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d),
> (c,d), t^6, a^t=a^-1*b^-1, b^t=a, c^t=c*d^-1, d^t=c>;
>
> Gamma_B := Group<a,b,c,d,t | (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d),
> (c,d), t^6, a^t=a^-1*b^-1, b^t=a, c^t=a*b*c*d^-1, d^t=a*b*c>;
누군가가 이것으로 나를 다시 도울 수 있기를 바랍니다.
답변
청구. 그룹$G_A$ 과 $G_B$ 동형이 아닙니다.
다음 기본형을 사용합니다.
정리. 허락하다$\Gamma_A = G_A/Z(G_A) = C_6 \ltimes_{A'} \mathbb{Z}^4$ 과 $\Gamma_B = G_B/Z(G_B) = C_6 \ltimes_{B'} \mathbb{Z}^4$, 어디 $C_6 = \langle \alpha \rangle$ 순서의 순환 그룹입니다 $6$ 과 $A'$ 과 $B'$ 에서 얻은 $A$ 과 $B$각각 첫 번째 행과 첫 번째 열을 제거합니다. 허락하다$M_A \Doteq [\Gamma_A, \Gamma_A]$ 과 $M_B \Doteq [\Gamma_B, \Gamma_B]$ 다음과 같이 간주되는 해당 파생 하위 그룹 $\mathbb{Z}[C_6]$-모듈 어디에 $\alpha$ ~처럼 연기하다 $A'$ 의 위에 $M_A$ 그리고 $B'$ 의 위에 $M_B$. 그런 다음 다음이 있습니다.$\mathbb{Z}[C_6]$-모듈 프레젠테이션 : $$M_A = \langle x, y \vert \, (\alpha^2 + \alpha + 1)x = (\alpha^2 - \alpha + 1)y = 0\rangle $$ 과 $$ M_B = \langle x \,\vert \, (\alpha^4 + \alpha^2 + 1)x = 0\rangle $$
증명. 설명 사용$M_A$ 같이 $(A' - 1_4) \mathbb{Z}^4$ 그리고 관찰 방법 $A'$ 열 벡터를 변환합니다. $A' - 1_4$. 같은 일을$M_B$.
우리는 이제 그 주장을 증명할 위치에 있습니다.
클레임 증명. 보여 주면 충분합니다.$\Gamma_A$ 과 $\Gamma_B$동형이 아닙니다. 동형$\phi: \Gamma_A \rightarrow \Gamma_B$ 동형을 유도합니다 $M_A \rightarrow M_B$아벨 그룹의. 우리가 필연적으로 가지고 있듯이$\phi((\alpha, (0, 0, 0, 0))) = (\alpha^{\pm 1}, z)$ 일부 $z \in \mathbb{Z}^4$ 위의 기본형의 프레젠테이션은 변경되지 않은 상태로 유지되므로 $\alpha$ 으로 $\alpha^{-1}$, 동형 $\phi$ 동형을 유도합니다 $\mathbb{Z}[C_6]$-모듈. 이것은 불가능합니다.$M_A$ 두 개 미만의 요소로 생성 할 수 없지만 $M_B$ 순환 적이다 $\mathbb{Z}[C_6]$. 참으로 관찰하십시오$M_A$ 에 대한 추측 $\mathbb{F}_4 \times \mathbb{F}_4$ 어디 $\mathbb{F}_4 \simeq \mathbb{Z}[C_6]/(2, \alpha^2 + \alpha + 1)$ 네 가지 요소가있는 필드입니다.
부록 1. 하자$G$ 유한하게 생성 된 그룹 $G$. 우리는$d(G)$의 순위$G$즉, 최소 발전기 수 $G$. 이 두 가지 특별한 경우에 대해 실제로$d(G_A) = 4$ 과 $d(G_B) = 3$.
일반적으로 그룹의 순위를 계산하는 것은 어려울 수 있지만 일부 지식은 $G_A$ 순환 그룹에 의한 다른 분할 확장은 [1, Corollary 2.4] 및 [2, Theorem A and Section 3.1]을 참조하십시오.
설정하자 $G_A = \mathbb{Z} \ltimes_A N_A$ 와 $N_A \Doteq \mathbb{Z}^n$. 그때$N_A$ 의 구조를 부여받을 수 있습니다 $\mathbb{Z}[C]$ 모듈 어디에 $C \subset G_A$ 에 의해 생성 된 무한 순환 그룹입니다. $a \Doteq (1, (0, \dots, 0)) \in G_A$ 행동하는 $N_A$ 활용을 통해 또는 동일하게 곱셈을 통해 $A$.
허락하다 $R$ 하나의 고리가되어서 $M$ 유한하게 생성되다 $R$-기준 치수. 우리는$d_R(M)$ 최소 발전기 수 $M$ 위에 $R$. 그런 다음 앞서 언급 한 결과는$$d(G_A) = d_{\mathbb{Z}[C]}(N_A) + 1.$$
우리가 $(e_1, \dots, e_n)$ 의 표준 기반 $\mathbb{Z}^n$. 에 대한$A$ 과 $B$ OP의 질문에서와 같이 다음을 유도하는 것은 쉽습니다. $\mathbb{Z}[C]$-모듈 프레젠테이션 : $$N_A = \langle e_1, e_2, e_4 \, \vert (a - 1)e_1 = (a^2 + a + 1)e_2 = (a^2 - a + 1)e_4 = 0 \rangle$$ 과 $$N_B = \langle e_1, e_5 \, \vert (a - 1)e_1 = (a^4 + a^2 + 1)e_5 = 0 \rangle.$$
이러한 프레젠테이션과 위의 순위 공식을 통해 주장 된 신원을 쉽게 추론 할 수 있습니다. $d(G_A) = 4$ 과 $d(G_B) = 3$.
부록 2. 하자$C_A$ 순환 하위 그룹 $G_A$ 에 의해 생성 된 $a \Doteq (1, (0, \dots, 0))$ 과 $K_A$ 그만큼 $\mathbb{Z}[C_A]$이 MO 질문에 대한 Johannes Hahn의 답변 (그리고 나중에 내)에서 정의 된 모듈 . 허락하다$\omega(A)$ 순서가되다 $A$ 에 $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$, 우리가 유한하다고 가정하고 $e_0 \Doteq (\omega(A), (0, \dots, 0)) \in G_A$. 우리가$(e_1, \dots, e_n)$ 의 표준 기반 $\mathbb{Z}^n \triangleleft G_A$.
쌍이 $\{K_A, K_{A^{-1}}\}$ 의 $\mathbb{Z}[C]$-modules는 $G_A$, 어디 $C = C_A \simeq C_{A^{-1}}$ 신분증과 함께 $a \mapsto (1, (0, \dots,0)) \in G_{A^{-1}}$. 이전 예제 와이 예제 를 해결하는데도 사용할 수 있습니다 .
이 MO 질문의 경우 간단한 계산을 통해 $$K_A = K_{A^{-1}}= \langle e_0, e_1, e_2, e_4 \, \vert \, (a - 1)e_0 = (a - 1)e_1 = (a^2 + a + 1)e_2 = (a^2 - a + 1)e_4 = 0\rangle$$ 과 $$K_B = \langle e_0, e_1, e_5 \, \vert \, (a - 1)e_0 = (a -1)e_1 = (a^4 + a^2 + 1)e_5 = 0\rangle.$$ 이후 $d_{\mathbb{Z}[C_A]}(K_A) = 4$ 과 $d_{\mathbb{Z}[C_B]}(K_B) = 3$ 그룹 $G_A$ 과 $G_B$ 동형이 아닙니다.
[1] G. Levitt 및 V. Metaftsis, "토리 및 동반 행렬 매핑 순위" , 2010.
[2] L. Guyot, "순환 그룹에 의한 아벨 그룹의 분할 확장 생성자", 2018.
다음 계산은 그것들을 구별하는 것 같습니다.
> #LowIndexSubgroups(GA,4);
30
> #LowIndexSubgroups(GB,4);
26
그들은 서로 다른 수의 동형을 가지고 있습니다. $A_4$:
> #Homomorphisms(GA,Alt(4),Sym(4));
5
> #Homomorphisms(GB,Alt(4),Sym(4));
1
(옵션 세 번째 인수 $\mathsf{Sym(4)}$ 짝수 (외관 적 동형)를 의미합니다. $\mathsf{Sym(4)}$.)
여기에 또 다른 접근 방식이 있습니다.
> P,phi:=pQuotient(GA,3,1);
> AQInvariants(Kernel(phi));
[ 2, 2, 0, 0, 0, 0 ]
> P,phi:=pQuotient(GB,3,1);
> AQInvariants(Kernel(phi));
[ 0, 0, 0, 0 ]
사실이 세 가지 방법은 모두 그룹의 유한 몫에서 동일한 차이를 감지하지만, 비동 형성을 증명할 수있는 가능한 기술을 표시하기 위해 모두 포함했습니다.
궁극적으로 이러한 모든 기술은 그룹의 다양한 유형의 계산 가능한 몫을 찾는 데 의존합니다. 불행히도 계산 가능한 몫으로 이러한 방식으로 구별 할 수없는 비 동형 유한하게 제시된 그룹 쌍의 예가 있습니다 (사실 일반 동형 문제의 풀 수 없음은 그러한 예가 존재해야 함을 의미합니다).