모든 측정 공간에 절대적으로 연속적인 확률 측정이 있습니까?

Aug 21 2020

허락하다 $(\Omega,\mathcal F,\mu)$ 임의의 측정 공간이어야합니다. 여기서 $\mu$ 0이 아니지만 그럴 필요는 없습니다. $\sigma$-유한 또는 반 유한. 확률 측정이 반드시 존재합니까?$P$ 의 위에 $(\Omega,\mathcal F)$ 그런 $P$ 에 대해 절대적으로 연속적입니다. $\mu$?

답변

6 Surb Aug 21 2020 at 19:51

없는 경우 $\mu-$유한 집합의 경우 대답은 아니오입니다. 그렇지 않으면 아무 세트 나 가져 가십시오.$X\in \mathcal F$$\mu(X)<\infty $. 그런 다음 모두를 정의하십시오.$A\in \mathcal F$, $$\mathbb P(A):=\frac{\mu(X\cap A)}{\mu(X)}=\int_A\frac{\boldsymbol 1_{X}(x)}{\mu(X)}\mu(\mathrm d x).$$ 명백하게, $\mathbb P$ 확률 측정 값입니다. $\Omega $ 절대적으로 연속적인 wrt $\mu$.