모든 제품 토폴로지 / 공간이 실수 유클리드 공간에 있습니까?
오늘까지 "실수"를 생각할 때 순수한 실수 세트 만 생각했습니다. 이것이 집합 이론적 Baire 공간 인 것처럼 보이기 때문에 내가 그렇게하는 것이 잘못된 것 같습니다 . 대신 실수 가 집합이고 그로 할 수있는 작업, 즉 필드 연산 (덧셈과 곱셈, 대수적 역, 즉 뺄셈과 나눗셈, 연관성, 교환 성 등에 관한 모든 규칙)과 순서 지정 인 것 같습니다. 따라서 실수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.$(R, +, \cdot, <)$. 일반적으로 우리는$\mathbb R$ 하지만 실수로 이런 일을 할 수 있다는 것을 알고 있습니다.
다음으로, 우리는 만들 수 제품 공간 (내부되지 제품의 공간을!) , 어떤
제품 공간이라는 자연 토폴로지가 장착 된 토폴로지 공간 제품군의 데카르트 곱입니다.
유한 수 ($n\in\mathbb N$)의 실수입니다. $\mathbb R^n$. 몇 명의 사람들 이 기호로 유클리드 공간을 공식적으로 기록하려면 어떻게해야합니까? 진술$\mathbb R^n$이미 유클리드 공간입니다. 즉, 실수의 모든 유한 차원 제품 공간은 유클리드 공간입니다.
그러나 나는 그것이 어떤 경우인지 알지 못한다. 유클리드 공간의 경우
이제 그것은 나에게 보인다
- 완전성은 실수의 완전성에서 실수보다 모든 제품 공간에 상속됩니다.
- 선형 조합은 직접 곱을 사용하여 파생 될 수 있습니다 . 직접 제품이 항상 제품 토폴로지에 내포되어 있는지 확실하지 않지만!
- 유클리드 거리는 유클리드 표준에 의해 유도됩니다.
- 유클리드 표준은 "정상적인"내적에 의해 유도되거나 기호로 유클리드 공간을 공식적으로 기록하는 방법의 JWTanner에 따라 유도 됩니다. , 내적은 유클리드 노름에 의해 유도됩니다. 그러나 그들 중 하나는 다른 곳에서 파생되어야합니다.
그래서, 유클리드 공간의 많은 속성은 실제 값에 대한 모든 제품 공간이 갖는 속성 인 것 같습니다. 그러나 실제 값에 대한 모든 제품 공간이 반드시 유클리드 공간이 갖는 내적을 가져야하는 이유를 알 수 없습니다 . 예를 들어 내적을 유도하지 않고 유클리드 내적이 아닌 다른 내적을 사용하도록 선택할 수 있습니다.
그렇다면 모든 제품 공간이 실수 유클리드 공간보다 많습니까? 그렇다면 내적은 반드시 어떻게 유도됩니까?
답변
Baire 공간에 대한 귀하의 의견을 이해할 수 없습니다.
예를 들어 유클리드 내적이 아닌 다른 내적을 사용하도록 선택할 수 있습니다.
네, 사실입니다. 당신이 배우는 것은 "$\mathbb{R}^n$"는 실제로 매우 모호한 표기법입니다. 문맥에 따라
- 세트
- 위상 공간 (통상적으로 유클리드 토폴로지)
- 매니 평활화 (통상적으로 "통상의"부드러운 구조)
- 거리 공간 (통상적으로 유클리드 메트릭)
- 벡터 공간 을 통해$\mathbb{R}$
- NORMED 벡터 공간 (통상적으로 유클리드 규범)
- 내적 공간 (종래 대각선 내적$\sum_{i=1}^n x_i y_i$)
- 교환 법칙이 성립$\mathbb{R}$-대수 (점적 곱셈 포함); 이것은 아마도 가장 일반적인 옵션 일 것입니다.
이것은 구조 의 나머지 부분을 명시 적으로 명명하지 않고 기본 집합 ( 캐리어 집합 이라고도 함 ) 만 사용하여 구조화 된 집합 을 참조하는 수학 표준 규약의 일부입니다 . 이것은 편의를위한 것입니다. 대부분이 작업을 수행하는 것은 너무 성가 시며 대부분 사람들은 어쨌든 컨텍스트에서 의미하는 바를 이해합니다.
그러나 실제 값에 대한 모든 제품 공간이 반드시 유클리드 공간이 갖는 내적을 가져야하는 이유를 알 수 없습니다.
그건 꼭 필요 하진 않아; 누군가가 "내부 제품 공간"이라고 말하면$\mathbb{R}^n$"추가 정교화없이 그들은 위에서 정의 된 대각선 내부 제품을 구체적으로 언급하고 있습니다.이 규칙은 무엇보다도 모든 내부 제품이 $\mathbb{R}^n$ (여기서는 $\mathbb{R}^n$ 실제 벡터 공간!)은 좌표의 선형 변화와 관련이 있으므로 어느 것을 선택하고 대각선을 계산하기가 가장 쉬운지는 실제로 중요하지 않습니다.
내부 제품이 있다고 가정 해 봅시다. $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 의 위에 $\mathbb{R}^n$. 그런 다음 Graham-Schmidt 프로세스를 사용하여 정규 직교 기저를 찾을 수 있습니다.$\{v_1, \dots, v_n\}$ 의 $\mathbb{R}^n$이 내부 제품과 관련하여. 그런 다음$v = \sum x_iv_i$ 과 $w = \sum y_i v_i$, 내적의 쌍 선형 속성에 의해 우리는 $$\langle v, w \rangle = \sum_{i = 1}^n \sum_{i = 1}^n x_i y_j \langle v_i, v_j \rangle = \sum_{i = 1}^n x_i y_i \langle v_i, v_i \rangle = \sum_{i = 1}^n x_i y_i = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} $$ 이후 $\langle v_i , v_j \rangle$ 이다 $1$ 만약 $i = j$ 과 $0$ 만약 $i \neq j$. 이것이 바로 내부 제품이 일반적인 의미에서 내적을 내적하는 이유입니다.
선형 조합의 경우 약간주의해야합니다. 일반적으로 벡터 공간의 곱으로 잘 작동하지만 차원이 무한 할 때 (즉, 기초가 없음) 약간 이상해집니다.
$\mathbb R$많은 것들이 있습니다. 가장 기본적인 것은 세트 일 뿐이지 만베이스 세트에 붙여서 만들 수있는 추가 구조가 많이 있습니다.$\mathbb R$정렬 된 집합, 그룹, 필드, 벡터 공간, 메트릭 공간, 토폴로지 공간, 부드러운 다양체 또는 대수적 다양성과 같은 다른 범주 의 수학적 개체입니다 . 일반적으로이 작업을 수행하는 합리적 / 일반적인 방법은 하나 뿐이고 일반적으로 어떤 종류의 객체를 참조하는지 컨텍스트에서 명확하기 때문에 결과 객체도 호출됩니다.$\mathbb R$. 이 모든 객체는 주어진 추가 구조가 다릅니다.
약간 덜하지만 이것은 다음에도 적용됩니다. $\mathbb R^n$: (일반적으로) n-fold 제품 $\mathbb R$ 세트, 벡터 공간, 토폴로지 공간 또는 기타 여러 가지 등 우리가 현재보고있는 범주에 속합니다.
그래서 당신은 유클리드 공간에 대해 이야기하고 있습니다. 그 자체가 여러 다른 유형의 물체에 의해 공유되는 이름입니다. 문맥없이 "유클리드 공간"이라고 말하면 예를 들어 미터 공간, 미터 입사 기하학 또는 리만 매니 폴드를 의미 할 수 있습니다. .
방법을 보자 $\mathbb R^n$미터법 공간입니다. 메트릭 공간은 함수가있는 집합 X입니다.$d : X \times X \to [0,\infty)$거리 함수의 속성 (대칭, 양수, 삼각형 부등식)을 충족합니다. 우리는 세트를 알고 있습니다. 이것은 일반적인 데카르트 곱입니다. 이제 거리 함수를 정의하겠습니다.
$$d \colon \mathbb R^n \times \mathbb R^n \to [0, \infty)\\$$ $$d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + \ldots + (x_n - y_n)^2}$$
충분히 간단합니다. 여기서 우리는 실수에 대한 많은 산술을하고 있습니다.$\mathbb R$ 정렬 된 필드로, 우리는 이론을 사용할 수 있습니다 $\mathbb R$ 이 정의가 실제로 메트릭 공간을 충족 함을 증명하기 위해 정렬 된 필드로.
"유클리드 공간"의 다른 의미에 대한 정의는 다른 유형의 추가 구조가 필요하기 때문에 매우 다를 것입니다. 이러한 구조는 다른 유형의 구조 만 주어지면 각 유형의 구조를 재구성 할 수 있다는 점에서 매우 유사합니다.
이제 데카르트 곱에 대해 조금 이야기 해 봅시다. 다양한 범주에서 해당 범주의 두 개체를 취하고 기본 집합이 두 입력 개체의 기본 집합의 데카르트 곱인 해당 범주의 새 개체를 표준적이고 합리적인 방식으로 정의하는 프로세스를 정의 할 수 있습니다. . 두 세트의 곱은 집합이고 두 토폴로지 공간의 곱은 토폴로지 공간이고 두 메트릭 공간의 곱은 또 다른 메트릭 공간입니다.
다른 카테고리의 구체적인 예, 이번에는 내부 제품 공간의 카테고리 : 주어진 두 개의 내부 제품 공간 $X$ 과 $Y$, 내부 제품 포함 $g_x$ 과 $g_y$ 각각 데카르트 곱을 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.
내적 공간은 내적이있는 벡터 공간입니다. 벡터 공간을 위해 우리는$X \times Y$ (이것은 벡터 공간의 곱일뿐입니다) 그리고 우리는 내부 곱을 정의 할 수 있습니다. $g$ 그것에 다음과 같이 :
$$g((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = g_x(x_1, x_2) + g_y(y_1, y_2).$$
이 새로운 공간이 내적 공간의 정의를 만족하는지 확인할 수 있습니다. 실제로이 제품 정의를 사용하면 실제로 수학적으로 증명할 수있는 진술입니다.$\mathbb R^n \times \mathbb R^m \cong \mathbb R^{n+m}$, 어디서 $\cong$이 두 개체는 다르게 정의 될 수 있지만 범주 내에서 구분할 수 없음을 의미합니다. 실제로$\mathbb R^n \times \mathbb R^m \cong \mathbb R^{n+m}$ 둘 다있는 거의 모든 카테고리에서 $\mathbb R^n$ 과 $\times$, 그리고 다른 범주에서는 여전히 약한 형태의 동등성을 충족합니다.
결론적으로 : $\mathbb R$, 많은 것들이 $\mathbb R^n$, 많은 것들이 $\times$, 서로 다른 범주에 속하기 때문입니다. 리만 매니 폴드 라는 이름 을 얻으려면$\mathbb R^n$, 그것의 제품을 가지고가는 충분하지 않습니다 $n$라는 세트의 사본$\mathbb R$또는 명령 필드 라고$\mathbb R$하지만 실제로 제품을 가져와야합니다. $n$의 사본 리만 다양체 라고$\mathbb R$.
- 유클리드 아핀 공간
유클리드 공간, $E$, 아핀 공간을 나타냅니다. 점과 좌표를 생각하십시오. 우리는 피타고라스 정리에 의해 결정된 유클리드 거리를 가지고 있습니다. 유클리드 거리,$d$, 공간 $E$ 메트릭 공간을 $(E,d)$
- 유클리드 벡터 공간 $(+,-,*)$
더 이상 점을 사용하지 않는다는 점에서 유클리드 공간과 다릅니다. 이 두 개념은 종종 함께 사용되며 실제로 두 개의 다른 구조라는 사실을 잊기 쉽습니다.
n 차원 유클리드 벡터 공간, $\overrightarrow{E}$, 내부 제품 공간입니다. 벡터 덧셈, 내적 및 유클리드 노름은 다음에 대해 정의 된 두 점 사이의 거리와 유사합니다.$E$. 유클리드 노름은 분명히 벡터 공간에 대한 메트릭입니다.$\overrightarrow{E}$ 거의 동일하다 $\mathbb{R^n}$, 그렇다면 왜 우리는 둘을 구별해야합니까?
- 실수 / 아핀 실수 공간의 좌표 공간
실제 벡터 공간을 언급 할 때 $\mathbb{R}^n$우리는 실제로 아핀 공간의 속성이 포함 된 일부 n 차원 유클리드 벡터 공간을 참조하고 있습니다. 좌표계를 할당하면$\mathbb{R}^n$"좌표 공간"이 있습니다. 데카르트 좌표계는 확실히 그러한 공간에 가장 친숙하지만 다른 흥미로운 것들을 생각할 수 있다고 확신합니다.