모든 유사한 Hermitian 행렬이 단일 적으로 유사합니까?

Aug 18 2020

나는 아니었다 $100\%$ 내가 얻은 것의 정확성이 확실하므로 확인을 요청할 수 있습니까?


허락하다 $A,B\in M_n(\Bbb C)$두 개의 유사한 Hermitian 행렬이어야합니다. 그때$A=P^{-1}BP$.

스펙트럼 정리에 따르면 모든 Hermitian 행렬은 대각 화 가능하므로 $A=U_1^{-1}DU_1$$B=U_2^{-1}DU_2$, 어디 $U_1,U_2\in M_n(\Bbb C)$ 단일하고 $D=\left(\delta_{ij}\right)\in M_n(\Bbb C)$ 대각선 st입니다 $\delta_{ii}\in\sigma(A)=\sigma(B)$.

이후 $A$$B$ 통합적으로 유사하다 $D$, 나는 쓰고 싶었다 $A$ 다음 형식으로 : $$A=P^{-1}U_2^{-1}DU_2P$$ 그때 $U_2P=U_1\implies P=U_2^{-1}U_1$. 둘 다 이후$U_1$$U_2^{-1}$ 단일성, $P$는 두 개의 단일 행렬의 곱으로도 단일입니다.

이 결과에 따른 질문 :

유사한 Hermitian 행렬 은 모두 단일 적으로 유사 합니까?

이것이 타당하다면 직교 정규 기반 에서 Hermitian 연산자의 행렬 표현이 Hermitian 행렬이라는 증명에 사용할 수 있습니까? 임의의 Hermitian 행렬이 주어 졌을 때이를 대각 화하도록 요청하면이 진술은 분명합니다. 나는 생각했다$P$ 하나의 직교 정규 기준에서 다른 기준으로의 전이 행렬이 될 수 있습니다.


미리 감사드립니다!

답변

1 Invisible Aug 19 2020 at 19:17

@ StephenMontgomery-Smith가 확인했듯이 모든 유사한 Hermitian 행렬은 실제로 단일 적으로 유사합니다.

Howerver, $P$ 예를 들어 다음과 같은 경우 반드시 단일 일 필요는 없습니다. $A=B=0$. 그런 다음 모든 인버터 블$P$ 충분합니다.


어제 Aaron Dunbrack이 답변 한 Quora에 게시 한이 유사 질문을 볼 수 있습니다 .