MTRP 2018의 실제 분석 문제
이것은 2018 년 MTRP 시험지에 나타난 질문입니다. 시험 현장에서이 문제를 해결할 수는 없었지만 나중에 집에 돌아 왔을 때 f가 연속적이라는 것을 증명할 수 있고 S가 그러면 우리는 f가 실제로 고정 된 점을 가지고 있다고 주장 할 수 있습니다. 그러나 Iam이 직면 한 문제는 S가 유한 집합이라는 것입니다. 그래서 나는 이것을 해결할 아이디어가 없습니다.
따라서 누군가가 이것을 해결하고 설명하는 데 도움을 줄 수 있다면 매우 감사하겠습니다. 나는 분석 학습의 시작점에 있으므로 엄격한 증거가 아니라 이것에 대한 모호한 아이디어를 가지고 있습니다.
답변
이 주장은 사실이 아닙니다. $S = \emptyset$.
그러나 $S$요소가 1 개 이상 있습니다.이 주장은 사실입니다. 우리는 요소 수에 대한 유도로 진행합니다.
만약 $S$ 정확히 하나의 요소가있는 경우이 주장은 분명 사실입니다.
이제 $S$ 있다 $k + 1$집단. 취하다$a, b \in S$ 성 $a \neq b$. 허락하다$\delta = \min\limits_{x, y \in S, x \neq y} |x - y|$. 그때$\delta > 0$.
이제 시퀀스를 고려하십시오. $a_n = f^n(a)$ 과 $b_n = f^n(b)$, 어디 $f^n$ 적용을 의미 $f$ $n$ 타임스.
우리는 그것을 본다 $|a_n - b_n| \leq \frac{1}{2^n} |a - b|$.
취하다 $n$ 충분히 크다 $\frac{1}{2^n} |a - b| < \delta$. 이 경우 우리는$f^n(a) = f^n(b)$.
가장 작은 것 $n$ 성 $f^n(a) = f^n(b)$. 그런 다음 우리는$f^{n - 1}(a) \neq f^{n - 1}(b)$ 그러나 $f^n(a) = f^n(b)$. 그때$f$ 주입 적이 지 않기 때문에 $S$ 유한합니다.
취하다 $w \in S$ 성 $w \notin f(S)$. 그런 다음 세트를 고려하십시오$S' = S - \{w\}$. 그때$f$ 기능으로 제한 될 수 있음 $f : S' \to S'$, 및 $|S'| = |S| - 1 = (k + 1) - 1$. 이것은 귀납적 가설에 의해$x \in S' \subseteq S$ 성 $f(x) = x$.
편집 : Kami Rama Murthy가 지적했듯이 시퀀스를 고려하는 것이 더 간단합니다. $s, f(s), f(f(s)), ...$ 그리고 그것을 보여 $|f^n(s) - f^{n + 1}(s)|$ 임의로 작아 지므로 $\delta$; 다음 몇 가지$n$ 성 $f^{n}(s) = f^{n + 1}(s)$.
허락하다 $s \in S$, $s_1=f(s),s_2=f(f(s)),...$. 그때$|s_n-s_{n+1}| \leq \frac 1 {2^{n}}|s-s_1|$ 주어진 불평등을 적용함으로써 $n$타임스. 그러나 유한 집합의 점 사이에는 최소 거리가 있습니다.$S$ 그래서이 불평등은 $n$ 큰 경우에만 $s_n=s_{n+1}$. 이제 가져가$x=s_n$ 증명을 완료합니다.
이것은 Banach 고정 소수점 정리의 사례로 입증 될 수 있습니다. 보다 일반적인 statament는 다음과 같습니다.$S$ 완전한 메트릭 공간의 닫힌 부분 공간이므로 완전한 메트릭 공간입니다. $f$ 완전한 미터 공간의 축소이므로 언급 된 정리에 대해 $f$ 고정 소수점이 있습니다.
구체적으로 다음 절차를 생각하십시오. 임의 선택$s_1 \in S$, 정의 $s_{n+1} = f(s_n)$. 거리의 순서를 생각하십시오$d_n = |s_{n+1} - s_n|$. 우리는$d_n=0$ 경우에만 $f(s_n)=s_{n+1}=s_n$, 및 $d_n$ 한정된 수의 값만 가질 수 있습니다. $|S|^2$한 쌍의 요소에 대한 poissble choise. Morover$d_{n+1} = |s_{n+2} - s_{n+1}| = |f(s_{n+1}) - f(s_n)| \le \frac{1}2|s_{n+1} -s_n| = d_n$ (고정 점을 찾은 경우에만 동등성이 유지됩니다), 따라서 $d_n$감소하고 있습니다. 유한 가능한 값 세트 사이에서 감소하는 시퀀스는 여기에서만 가능한 최소값에 도달합니다.$0$.