무료 Maxwell 이론의 규모를 설정하는 요소 $d\neq 4$?

Question

무료 Maxwell 이론에 대한 동작은 다음과 같습니다. $$S=\int d^dx\sqrt{-g}\bigg(-\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\bigg)$$ 이론은 등각 변환 하에서 불변합니다. $g_{\mu\nu}\to\Omega^2(x)g_{\mu\nu}$ 만 $d=4$이론의 에너지 운동량 텐서의 흔적을 살펴 보거나 그러한 변환 아래에서이를 직접 인식함으로써 알 수있는 것처럼

• $F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}g^{\alpha\mu}g^{\beta\nu}\to \Omega^{-4}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}g^{\alpha\mu}g^{\beta\nu}=\Omega^{-4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$
• $g=e^{\text{Tr}(\ln(g_{\mu\nu}))}\to e^{\text{Tr}(\ln(\Omega^2g_{\mu\nu}))}=e^{\text{Tr}(2\ln(\Omega))}g=e^{2d\ln(\Omega)}g=\Omega^{2d}g$

따라서 $-\frac{1}{4}\sqrt{-g}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ 불변하기 위해 $\frac{\Omega^{d}}{\Omega^4}=1$ 그것은 단지의 경우입니다 $d=4$.

이것은 자유 맥스웰 이론이 다음과 같은 경우를 제외하고는 등각 적으로 불변하지 않음을 의미합니다. $d=4$. 그러나 이론의 정의는 모든 차원에서 동일하고 차원 매개 변수를 포함하지 않으므로 문제의 규모를 설정하는 것이 무엇인지 혼란 스럽습니다.$d\neq 4$ 이론이 등각 불변하지 않을 때.

Answer 1

Maxwell의 이론은 모든 𝑑에서 척도 불변이지만 등각 불변은 아닙니다 (𝑑 = 4 제외). 따라서 물리적 척도는 없지만 등각 불변성도 없습니다. 스케일 불변은 등각 불변을 의미하지 않습니다.

이를 확인하는 한 가지 방법은 Ω이 전체 등각 변환이 아니라 단순히 스케일 변환 인 경우 동작에서 취소되지 않더라도 (𝑑 ≠ 4의 경우) 단순히 미분에 참여하지 않고 EOM을 불변으로 남겨 둘 상수 인자. 또 다른 접근 방식은 운동 용어가 변하지 않도록 필드의 스케일링 차원을 선택하는 것입니다.

QFT에서는 본질적으로 모든 정규화 체계가 척도를 도입하기 때문에 척도 불변성을 갖는 것은 매우 어렵습니다. (QCD의 차원 변환 참조). 따라서 스케일 불변 양자를 기계적으로 보존하는 이론은 매우 특별하고 대칭이어야하며 종종 완전히 등각 불변으로 끝나는 경우가 많습니다 (예 : 𝑁 = 4 수퍼 양 밀).