내 자신의 솔루션을 이해할 수 없습니다. $\log_5(3x-1)<1$ 과 $\log(6/x)>\log(x+5)$
여기에 로그 부등식의 두 가지 예가 있습니다. 해결할 수 있었음에도 불구하고 저는 제 자신의 과정을 완전히 이해할 수 없었습니다.
$\boxed{\text{Example 1: }\log_5(3x-1)<1}$
$\log_5(3x-1)<1 \Longleftrightarrow 3x-1<5 \Longleftrightarrow x<2$
그러나 해결책은 아닙니다 $x\in(-\infty, 2)$
이제 값을 고려 $x$ 어디 $\log_5(3x-1)$ 정의됩니다. $ 3x-1>0 \implies x>\frac{1}{3}$
해결책은 교차점입니다. $$(-\infty, 2)\cap \left(\frac{1}{3}, \infty \right) \implies x\in \left(\frac{1}{3}, 2\right)$$
$\boxed{\text{Example 2: }\log \left(\frac{6}{x}\right)>\log(x+5)}$
다시 나는 해결했다
$\frac{6}{x}> x+5$ 과 $x+5>0$, 같이 $x>-5$ 로그에 대해 정의 된 값의 범위입니다. $$\frac{6}{x}> x+5 \Longleftrightarrow \frac{6}{x}-x-5 > 0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{(x+6)(x-1)}{x} < 0$$
그런 다음 방금 테이블을 만들고 $(-\infty, -6)\cup (0, 1) $
이 문제에 대한 해결책은 $ ((-\infty, -6)\cup (0, 1))\cap (-5, \infty) \implies x\in(0, 1) $
이 질문의 목적은 다음과 같습니다.
- 불평등을 더 잘 해결하는 방법을 이해하고 더 직관적으로 이해하십시오.
- 불평등이 어떻게 작동하는지 이해하고 더 직관적으로 이해하십시오.
- 대답은 정의 된 값과 "솔루션"교차점 인 이유입니다.
질문이 너무 초보적인 경우 미안하지만 어떤 힌트라도 환영합니다.
답변
몇 가지 아이디어가있는 것 같습니다.
이것이 우리의 기본 정의입니다 $\log_b x = y \implies x = b^y$
만약 $y = 1$
$\log_b x = 1 \iff x = b$
기능의 몇 가지 기본 특성이 있습니다.
이 기능은 "단조 증가"입니다. 그건$\log x > \log y \iff x > y$
이 기능은 "주사"입니다. $\log x = \log y \iff x = y$
그리고 도메인 $\log x = (0,\infty).$ 만약 $x<0$ 함수가 정의되지 않았습니다.
이 어휘를 알 필요는 없습니다. 로그 함수와 관련하여 의미를 이해해야합니다.
당면한 문제에.
$\log_5 (3x-1) < 1 \implies 3x-1 < 5$처음 두 규칙에서. 과$3x-1 > 0$ 마지막 규칙에서
이러한 제약 조건을 모두 미리 나열하는 것이 좋습니다.
다음과 같이 작성할 수 있습니다. $0< 3x - 1 < 5$
$\frac 13 < x < 2$
두 번째 문제 :
$\log \frac 6x > \log (x+5)\\ \frac 6x > x + 5 \text { and }\frac{6}x > 0 \text { and } x+5 > 0$
다행히도, $\frac{6}x > 0 \implies x > 0 \implies x+5 > 0$ 마지막 제약을 없앨 수 있습니다.
금기 사항 $x>0$ 서비스를 제공합니까? 그 점에서 $x$불평등에 대한 기호를 뒤집는 것에 대해 걱정하지 않고. x가 음수 일 가능성이 있다면 그렇게 할 수 없습니다.
$0 > x^2 + 5x - 6$ 과 $x>0$
$0>(x+6)(x-1)$ 과 $x>0$
첫 번째 불평등에는 해결책이 있습니다. $(-6,1)$ 그리고 두 번째 $(0,\infty)$
$(0,1)$ 둘 다 유지되는 간격입니다.
이러한 불평등을 잘 해결하는 것 같습니다. 의견에서 제안했듯이 먼저 제한 사항을 설명한 다음 거기에서 작업 하는 것이 더 나을 것입니다.
예를 들어 첫 번째 질문에서 먼저 솔루션을 얻습니다 ($x<2$) 그런 다음 거기에서 제한을 적용하십시오. 나는 이것이 당신이 당신의 프로세스와 혼동을 일으킬 수 있다고 생각합니다.
로그가 주어지면 $\log_5(3x-1)$, 먼저 다음 값을 찾아야합니다. $x$ 만족스러운 $3x-1>0$, 실수로 로그에 음수가 표시되지 않도록합니다. 일단 당신이$x>\frac{1}{3}$, 그러면 불평등에 대한 해결책을 찾을 수 있습니다. 일단 당신이$x<2$, 생각할 필요없이 쉽게 제한을 적용 할 수 있습니다.
두 번째 것도 똑같지 만 제한을 결정할 때 왼쪽의 로그도 고려하지 않았습니다 (즉,$x>-5$ 하지만 당신은 얻지 못했습니다 $x>0$, 답변에 더 가까워집니다). 나는 이것이 당신에게 시간을 절약 할 것이라고 생각합니다.
도움이 되었기를 바랍니다.