내장 리본 및 일반 동위 원소
나는 Kauffman의 1990 년 논문 "An Invariant of Regular Isotopy"를 읽고 있는데, Reidemeister Type II와 III 움직임을 통해서만 동위 원소 인 매듭을 다루고 있습니다. 이것은 정규 동위 원소로 알려져 있습니다. 그의 논문은 일반 동위 원소와 내장 된 밴드 사이에 관계가 있다고 주장합니다.$S^1 \times [0,1]$) 에 $S^3$. 그는 Burde의 Knots 교과서를 언급했지만, 나는 Burde의 텍스트가 쓰여진 후 Kauffman이 논문에서 그 문구를 만든 것 같아서 정규 동위 원소에 대한 언급을 찾을 수 없습니다.
규칙적인 매듭의 동위 원소는 내장 된 밴드에 해당한다고 생각합니다. 그러나 내가 간과하는 병리가 있을지 걱정됩니다. 관계에 대한 정확한 진술이있는 사람이 있습니까?
답변
모든 매듭 다이어그램에서 "칠판 프레임"을 사용하여 프레임 매듭을 얻을 수 있습니다. 매듭 다이어그램의 규칙적인 동위 원소의 요점은 칠판 프레임을 보존한다는 것입니다. 프레임 된 매듭과 내장 된 밴드는 동일하므로 규칙적인 동위 원소는 매듭 다이어그램의 흑판 프레임에 해당하는 내장 된 밴드도 보존합니다.
나는 이것이 Burde에서 아마도 액자 매듭과 관련하여 더 자세히 논의되었다고 가정합니다. 또한 Burde가 프레임 매듭에 대해 전혀 논의하지 않을 수도 있습니다. 왜냐하면 사람들이 Jones 다항식 / Cern-Simons TQFT를 발견 한 후 더 많은 관심을 갖게되었다고 생각하기 때문입니다. 그리고 저는 동의합니다. 저는 Kauffman이 "정규 동위 원소"라는 용어를 만들었 기 때문에 아마도 Burde에서는 사용되지 않을 것입니다.
이것은 답변 이라기보다는 댓글에 가깝지만 도움이 되었기를 바랍니다. 규칙적인 동성애에 대한 훨씬 오래되고 더 잘 연구 된 개념이 있습니다. 허락하다$X$ 과 $Y$ 매끄럽고 다양한 $f,g\colon X \rightarrow Y$몰입 할 수 있습니다. 그때$f$ 과 $g$ 침수를 통해 동종인 경우 규칙적으로 동종입니다.
규칙적인 동형 몰입 클래스에 집중합시다. $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$. 이러한 몰입감은 오버 / 언더 교차점을 잊음으로써 매듭 다이어그램에서 얻는 것입니다. 그것을 보는 것은 어렵지 않습니다.$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 횡 방향 자기 교차로 규칙적으로 동위 원소 침지 $f$ 변형 될 수 있습니다 $g$Reidemeister II / III 움직임의 명백한 유사체의 순서에 의해. 그러나 당신은 당신이 당신의 고리를 단단히 당기는 순간 파생물이 사라져야하기 때문에 내가 움직이는 Reidemeister의 아날로그를 수행 할 수 없습니다. 그래서 그것은 규칙적인 동형이 아닙니다.
내 생각 엔 이것이 Kauffman이 생각했던 것입니다. 그건 그렇고, 일반적인 동질성 침지 클래스$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$완전히 분류 될 수 있습니다. 그러한 몰입의 파생물을 취하고 파생물이 단위 길이를 갖도록 크기를 조정하면 연관된 맵을 얻을 수 있습니다.$S^1 \rightarrow S^1$. 이지도의 정도를 몰입 정도라고하며 Whitney-Graustein 정리 는이 정도가 완전 불변이라고 말합니다. 이 정리는 Hirsch-Smale immersion theorem의 초기 선구자입니다.$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ 구체를 뒤집어주는 Smale의 유명한 "sphere eversions"를 포함합니다.
