내적 속성
나는 다음 주장을 증명하거나 반박하고 싶습니다.
두 벡터를 취하면 $\mathbf{v}_1$ 과 $\mathbf{v}_2$ 에 $\mathbb{R}^{d}$ ($d$ 2는 필요하지 않으므로 기하학적 증명을 사용할 수 없습니다.) $\cos(\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}) = \frac{\mathbf{v}_1^T\mathbf{v}_2}{\Vert \mathbf{v}_1 \Vert \Vert \mathbf{v}_2 \Vert}$ 다음 보류 :
- 모든 벡터 $\mathbf{u}$ 성 $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = 1$ 우리가 표시한다면 $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1+\mathbf{u}$ 과 $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2+\mathbf{u}$ 우리는 얻을 것이다 $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$
- 모든 벡터 $\mathbf{u}$ 성 $\text{sgn}(\mathbf{v}_1^T\mathbf{u}) = \text{sgn}(\mathbf{v}_2^T\mathbf{u}) = -1$ 우리가 표시한다면 $\tilde{\mathbf{v}}_1 = \mathbf{v}_1-\mathbf{u}$ 과 $\tilde{\mathbf{v}}_2 = \mathbf{v}_2-\mathbf{u}$ 우리는 얻을 것이다 $\alpha_{\tilde{\mathbf{v}}_1,\tilde{\mathbf{v}}_2}<\alpha_{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2}$
나는 많은 수치 시뮬레이션을 실행했고 그것이 유지되는 것처럼 보였기 때문에 위의 주장이 확실하다고 확신합니다.
나는 코사인의 대수적 정의를 대수적 트릭 (삼각형 부등식 등)과 함께 사용하려고 시도했지만 일반화 된 코사인 부등식 (벡터의 경우)과 동일하게 작동하지 않았습니다.
답변
두 주장 모두 거짓입니다. 우리는 대체하여 다른 하나로부터 하나의 청구를 얻을 수 있기 때문에$u$ 으로 $-u$, 그것은 첫 번째 주장을 반증하는 것으로 충분합니다.
두 개의 선형 독립 벡터 선택 $u$ 과 $v_1$ 그런 $v_1^Tu>0$. 허락하다$v_2=2v_1$. 그때$v_2^Tu>0$ 그러나 $$ \alpha_{v_1,v_2}=0<\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ 구체적인 반례를 위해 \begin{aligned} u&=(1,1)^T,\\ v_1&=(1,0)^T,\\ v_2&=(2,0)^T,\\ \tilde{v_1}=u+v_1&=(2,1)^T,\\ \tilde{v_2}=u+v_2&=(3,1)^T. \end{aligned} 그때 $$ \frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|}=1 >\frac{7}{\sqrt{50}}=\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} $$ 따라서 $$ \alpha_{v_1,v_2} =\arccos\frac{v_1^Tv_2}{\|v_1\|\|v_2\|} <\arccos\frac{\tilde{v}_1^T\tilde{v}_2}{\|\tilde{v}_1\|\|\tilde{v}_2\|} =\alpha_{\tilde{v}_1,\tilde{v}_2}. $$ 섭동으로 $v_2$ 자신에게 수직 인 방향을 약간 따라 가면 반례를 얻을 수도 있습니다. $v_1$ 과 $v_2$ 선형 의존적이지 않습니다.