ODE 솔루션의 존재 증명 $-s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi''$
허락하다 $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ 두 배로 구별 할 수있다 $f'' > 0$, 그리고 $u_- > u_+$실수입니다. 해결책이 있음을 보여줍니다.$\varphi(x)$ 다음 미분 방정식 : $$ -s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi'' \tag{1} $$ 그런 $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$, 그리고 어디 $s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}$.
나의 초기 시도는이 DE가 다음과 잘 통합 될 수 있음을 관찰하는 것입니다. $$ \varphi' = f(\varphi) - s\varphi + C \tag{2} $$ 따라서이 DE에 대한 솔루션의 존재를 보여주는 것으로 충분합니다. 여기서 우리는 자유롭게 선택할 수 있습니다. $C$. 나는 RHS를 LHS로 가져 오려고했는데 다음과 같은 결과를 얻었습니다.$$ \int \frac{1}{f(\varphi) - s\varphi + C} \; \mathrm{d}\varphi = x + D $$ 어디 $D \in \Bbb{R}$. 따라서 다음을 정의하면 :$$ g(x) = \int \frac{1}{f(x) - sx + C} \; \mathrm{d}x $$ 그리고 그것을 가정 $g$ 가역적이면 $\varphi(x) = g^{-1}(x)$ 해결책이 될 것입니다 $(2)$. 그러나이 접근 방식에는 해결해야 할 몇 가지 문제가 있습니다.
- 적분은 다음과 같은 경우 의미가 없습니다. $f(\varphi) - s\varphi + C$ 어느 시점에서 사라진다 $\Bbb{R}$. 우리는 자유롭게 선택할 수 있습니다.$C$, 우리가 그것을 보여줄 수 있다면 $f(\varphi) - s\varphi$ 위 또는 아래에서 제한되는 경우 $C$존재합니다. 볼록 함과 정의를 사용할 수 있다고 생각합니다.$s$ 이것을 증명하기 위해 노력했지만 지금까지 내 시도는 쓸모가 없습니다.
- 적분이 의미가 있다면 또 다른 문제는 $g$뒤집을 수 있습니다. 그러나 이것은 FTOC에서와 같이 문제가되지 않아야합니다.$$ g'(x) = \frac{1}{f(x) - sx + C} $$ 그래서 분모가 사라지지 않으면 $g'$ 연속적이므로 엄격하게 양수 또는 음수 여야합니다. $g$ 순전히 모노톤이므로 반전이 가능합니다.
- 여기서 가장 큰 문제는이 정의가 $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$. 이 조건에 맞게 적분을 조작하려고했지만 지금까지는 아무 소용이 없었습니다.
또한 Picard의 반복을 사용하는 것과 같은 다른 접근 방식을 시도했지만이 문제는 실제로 IVP가 아니기 때문에 성공하지 못했습니다.
도움을 주시면 감사하겠습니다.
답변
한계 사용 $\pm\infty$, 우리는 찾는다 $$ C = su_+ - f(u_+) = su_- - f(u_-) \, , $$ $$ \text{and}\qquad \varphi' = f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - u_+) = f(\varphi) - f(u_-) - s(\varphi - u_-) \, , $$Evans PDE 에서이 연습 을 참조하십시오 . 엄격한 볼록 의$\varphi\mapsto \varphi'$ 엄격한 볼록에서 뒤 따른다 $f''>0$ 의 $f$. 이 속성은$\varphi' < 0$ ...에 대한 $\varphi \in \left]u_+, u_-\right[$. 따라서,$\varphi$ 부드럽게 감소하는 함수입니다. $u_-$ ...에 $u_+$. 평형 의 안정성 을 조사하려면$\varphi = u_\pm$, 우리는 미분의 부호를 계산합니다 $d\varphi'/d\varphi = f'(\varphi) - s$ 평형에서 음의 $\varphi = u_+$ 그리고 긍정적 $\varphi = u_-$엄격한 볼록성으로 인해. 따라서,$u_+$ 매력적인 균형이며 $u_-$반발 평형입니다. RHS 이후. 위의 미분 방정식은 비 특이적이고 추가 근을 갖지 않습니다. 경계 솔루션은 반드시 두 값을 연결합니다.$u_\pm$ 부드러운 감소 기능을 통해 $\varphi$. 적분$$ x+D = \int_{u_+}^{u_-} \frac{\text d \varphi}{f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - su_+)} $$ 경계에서 단수 $\varphi = u_\pm$. 이 부적절한 적분의 수렴은 경계에서의 점근 적 동작에서 따릅니다.