외부 대수 및 선형 독립 벡터
한다고 가정 $v_1,\cdots,v_r$ 일부 벡터 공간에서 선형 독립 벡터입니다. $V$. 나는 그것을 시도하고 보여주고 싶다.$w \in \bigwedge^p(V)$ 그 $$ w = \sum_{i=1}^{r} v_i \wedge \psi_i $$ 일부 $\psi_i \in \bigwedge^{p-1}(V)$ 경우에만 $$ v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0. $$
앞으로의 방향은 작문으로 사소합니다 $w$합계로 쐐기 곱을 선형으로 확장합니다. 그것은 나에게 문제를 일으키는 두 번째 의미입니다.
우리가 가정하면 $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0$, 그런 다음 쓸 수 있다고 결론을 내리고 싶습니다. $w$ 다음에서 잘 선택된 교대 다중 선형 형식을 검토하여 적절한 형식으로 $V^{p+r}$ 벡터 공간에 $\bigwedge^{p+r}(V)$에서 유도 된지도를 평가합니다. $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w$ 그리고 얻다 $0$.
내가 가진 문제는 $w$ 반드시 기초적인 웨지 제품은 아니기 때문에 저는 그것을 요소로 생각하는 표준적인 방법이 없습니다. $V^p$. 이 역방향에 대한 아이디어는 크게 감사하겠습니다.
답변
허락하다 $\{e_1,\ldots, e_k\}$ 기초가되다 $V$ 그런 $v_i=e_i$ ...에 대한 $1\le i\le r$. $w\in \bigwedge^p(V) \implies$
$$w = \sum_{\alpha\in P}f_{\alpha}e_{\alpha_1}\wedge\ldots \wedge e_{\alpha_s}$$ 어디 $P = \{(i_1,\ldots, i_s) \mid 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le k, s\leq p\}$ 그리고 나는 사용할 것이다 $|\alpha|$튜플의 요소 수를 나타냅니다. 분명히$$v_1\wedge \cdots \wedge v_r = e_{1}\wedge\cdots \wedge e_{r}$$따라서 \ begin {align *} & v_1 \ wedge \ cdots \ wedge v_r \ wedge w = 0 \\ \ implies & e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {r} \ wedge \ sum _ {\ alpha \ in P} f_ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} = 0 \\ \ implies & \ forall \ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq 0 \ implies \ exists l_ \ alpha \ leq | \ alpha |, \ alpha_ {l_ \ alpha} \ leq r \ text {(Let$l_\alpha$최소값 표시)} \\ \ implies & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ 쐐기 e_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ implies & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} (-1) ^ m e_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e_ { \ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ implies & w = \ sum_ {i = 1} ^ rv_ {i} \ wedge \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0, l_ \ alpha = i} f _ {\ alpha} (-1) ^ m \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \ end {align *} 어딘가에서 실수를했을 수도 있지만 아이디어는 분명해야합니다 . 명확성을 위해 사용하도록 제안한 표기법이 있으면 언제든지 의견을 보내주십시오!