외부 균일 전기장에서 하전 된 전도성 구의 라플라스 방정식

Question

저는 Introduction to Electrodynamics, Griffiths의 문제 3.21을 해결하려고합니다 .

균일 한 전기장에 배치 된 전하 Q 및 반경 R의 하전 된 금속 구체 외부의 전위를 찾습니다. $\mathbf E_0$.

전기장이 z 축을 따라 작용하도록 좌표계의 방향을 지정하겠습니다.

• BC 1 : 구가 전도성이므로 설정 $V(R, \theta)=0$.
• BC 2 : As $r \rightarrow \infty$, 우리는 $V \rightarrow -E_0r \cos \theta- \frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$

구면 좌표에서 방위각 대칭 사례의 라플라스 방정식 솔루션은 다음과 같이 제공됩니다.

$$V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}{(A_l r^l+\frac{B_l}{r^{l+1}})P_l\cos(\theta)}$$

나는 현재 두 개의 경계 조건이 함께 작동하도록 노력하고 있습니다. 내가 얻는 것은 계수가 무엇인지에 대한 제한 형식이며 심지어 비 호환성입니다.

BC 1 적용 : $$V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}{A_l( r^l-\frac{R^{2l+1}}{r^{l+1}})P_l\cos(\theta)}$$

그러나 분명히 상당히 큰 $r$, $\frac{R^{2l+1}}{r^{l+1}}$ 용어가 사라지고 이제 다음과 같이 확장되는 두 번째 경계 조건의 일부를 사용할 수 없습니다. $\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$, 이는 놀라운 일이 아니지만 문제는 두 번째 경계 조건이 첫 번째 경계 조건과 호환되지 않는다는 것입니다. $\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$ 과 $-E_0r \cos \theta$ BC 1을 처음 적용했을 때 필요한 양식에 맞지 않는 용어

누군가이 비 호환성 문제에 대해 명확히 할 수 있습니까?

Answer 1

기원전 $2$잘못되었습니다. 큰 경우$r$, 요금으로 인한 필드 $Q$ 구면에서 무시할 수 있고 남은 것은 유니폼뿐입니다. $\mathbf{E_0}$. 따라서 무한대의 조건은 실제로$\mathbf{E}(r\rightarrow\infty,\theta)\rightarrow\mathbf{E_0}$. 이것을 잠재력으로 번역하십시오. 힌트 : 부과하려고$V(r\rightarrow\infty,\theta)=-E_0r\cos\theta+C$ (상수를 잊지 마세요 $C$) BC 적용 후 얻은 결과 $1$. 이것이 의미하는 것을 볼 수 있습니다.$A_{l\ge2}=0$, 그리고 당신이 결정할 수 있습니다 $A_1$.

마지막으로 결과는 $A_0$ (동등하게 $C$). 그런 다음 세 번째 BC가 필요합니다. 즉, 구형의 순 전하가$Q$. 힌트 : 찾기 시도$\mathbf{E}=-\mathbf{\nabla}V$ 가우스의 법칙을 사용하여 $A_0$ 과 $Q$.