왼쪽과 오른쪽 코셋의 동일성을 보여줌으로써 정규 부분 군의 사전 이미지가 정상 부분 군임을 증명

Question

이것은 Amann과 Escher 의 분석 I 60 페이지에있는 연습 5입니다 .

운동:

허락하다 $\varphi \colon G \to G'$ 동형이고 $N'$ 정상적인 하위 그룹 $G'$. 보여줘$\varphi^{-1}(N')$ 다음의 정상적인 하위 그룹입니다. $G$.

토론:

여기서 drhab의 대답을 찾았고 그는 정규성이 약 두 줄로 증명 될 수 있음을 보여줍니다. 내 질문은 이것이 왼쪽과 오른쪽 코셋의 평등을 보여줌으로써 증명 될 수 있는지 여부입니다. 내 텍스트 (분명히 분석에 초점을 맞추고 있음)는 일반 하위 그룹을 왼쪽 및 오른쪽 코셋이 동일한 것으로 정의합니다. 그것은 활용에 대해 전혀 논의하지 않습니다 (정확한 단어입니까?).

나는 그것을 증명하려고하는 것을 발견했다 $g \odot \varphi^{-1}(N') = \varphi^{-1}(N') \odot g$ ...에 대한 $g \in G$꽤 어렵습니다. 나는 정규성을 사용하는 방법을 몰랐습니다.$N'$, 내가 필요하다고 생각했습니다.

누구든지 코셋을 사용하여 이것을 증명하는 방법을 알고 있습니까? 도움을 주셔서 감사합니다.

Answer 1

여기 켤레와 동등한 것을 사용하지 않으려 고 노력하는 접근 방식이 있습니다. (기록을 위해, conjugates는 확실히 갈 길입니다.)

주요 아이디어는 $$g \odot \phi^{-1}(N') = \phi^{-1}(\phi(g) \odot N') = \phi^{-1}(N' \odot \phi(g)) = \phi^{-1}(N') \odot g.$$첫 번째와 마지막 평등은 개략적이며 정당화가 필요합니다. 두 번째가 동일하기 때문에 첫 번째를 할 것입니다.

에 대한 $x \in G$, 우리는 $$\begin{align*}x \in \phi^{-1}(\phi(g) \odot N') &\Leftrightarrow \phi(x) \in \phi(g) \odot N' \\ &\Leftrightarrow \phi(g)^{-1} \odot \phi(x) \in N' \\ &\Leftrightarrow \phi(g^{-1} \odot x) \in N' \\ &\Leftrightarrow g^{-1} \odot x \in \phi^{-1}(N') \\ &\Leftrightarrow x \in g \odot \phi^{-1}(N'). \end{align*}$$

Answer 2

허락하다 $N:=\phi^{-1}N'$, 그건 $x\in N\iff \phi(x)\in N'$.

그런 다음 $g\in G$, $x\in N$, $$\phi(gx)=\phi(g)\phi(x)\in \phi(g)N'=N'\phi(g)$$ $$\therefore\phi(gx)=y\phi(g), \exists y\in N'$$

문제는 $y=\phi(x')$ 와 $x'\in N$. 이것은 이후의 경우입니다$y=\phi(gx)\phi(g)^{-1}=\phi(gxg^{-1})$ 그래서 복용 $x':=gxg^{-1}$ 그때 $\phi(x')=y\in N'$ 그래서 $x'\in N$.