파워 세트가 세트임을 보여줍니다.
저자가 독자가 증명하기를 원하는 다음 명제를 발견했습니다.
발의안 1 . 임의 세트 용$X$, $\{A \mid A \subseteq X\}$ 세트입니다.
내 시도 (주로 저자가 제공 한 힌트를 기반으로 함) :
나는 먼저 책에 제시된 힘 공리 ( 위키피디아 기사에 쓰여진 것과 다른 것처럼 보인다)를 말할 것이다 .
파워 세트 공리 . 허락하다$X$ 과 $Y$설정합니다. 다음으로 표시된 세트가 있습니다.$Y^{X}$ 의 모든 기능으로 구성된 $X$ ...에 $Y$ , 따라서
$$f \in Y^{X} \iff \text{(f is a function with domain $엑스$ and range Y)}$$
파워 세트 공리와 대체 공리를 사용하여 다음 세트를 구성 할 수 있습니다.
$$S = \{Z \mid Z = f^{-1}(\{1\}) \text{ for some } f \in \{0,1\}^X \}$$
이제 우리는 임의의 $A \in S$, $A \in S$ iff $A \subseteq X$
$(\rightarrow)$ 조금 가져가 $A \in S$ 그리고 좀 $a \in A$. 이후$A \in S$, 일부 존재 $f: X \rightarrow Y$ 그런 $f^{-1}(\{1\}) = A$. 후방 이미지의 정의에 따라 다음과 같이 결론을 내릴 수 있습니다.$a$ 도메인에 있음 $f$, 그건 $a \in X$.
$(\leftarrow)$ 임의의 하위 집합 가져 오기 $X$, 말 $A$. 우리는 정의 할 수 있습니다$f: X \rightarrow Y$ 그런 $f(x) = 1$ iff $x \in A$, 및 $f(x) = 0$그렇지 않으면. 우리는 그것을 본다$f \in \{0,1\}^{X}$ 그리고 그것은 사실입니다 $A = f^{-1}(\{1\})$. 그 후$A \in S$.
그 후 $S = \{A \mid A \subseteq X\}$, 의미하는 것은 $\{A \mid A \subseteq X\}$ 세트입니다.
$\blacksquare$
질문 1.
맞습니까?
질문 2.
위의 증명이 맞다면 더 간결한 대안이 있습니까? 저자의 힌트를보기 전에 (즉, 전력 집합 공리와 대체 공리를 사용해야 함) 다음 인수로 충분하다고 생각했습니다. "집합은 개체 모음입니다. 부분 집합은 개체입니다. 따라서 특정 세트는 세트입니다. "
답변
이 증거는 나에게 괜찮아 보인다. 그것에 대한 몇 가지 의견 :
- 당신이 읽고있는 책의 다른 곳에서 이미 입증되지 않았다면, 나는 왜 $S$ 세트이므로 $$f^{-1}(\{1\}) = \big\{ x \in X : f(x) = 1\big\}$$ 각 세트입니다 $f \in \{0,1 \}^X$ 분리 공리에 의해.
- 에서 $(\to)$ 두 가지 경우를 고려해야합니다. $A = \varnothing$ 과 $A \neq \varnothing$. 만약$A = \varnothing$, 그런 다음 사소한 $A \subseteq X$; 그렇지 않으면$a \in A$ (당신이 말한대로) 나머지 증거는 다음과 같습니다.
주석에서 암시했듯이 이러한 형식주의를 사용하여 모든 세트에 대해 $A$, $\mathcal P(A)$는 또한 집합 (처음 생각한대로 논쟁하는 대신)이며, 특정 집합 집합이 너무 "큰"위치에 들어 가지 않으려 고 노력하는 수학자들에게서 비롯되어 Cantor 및 Cantor에서 예시 된 것과 같은 공리 시스템 내에서 모순이 발생합니다. 부 랄리-포티의 역설.