Pedersen의 분석에 대한 발의안 4.3.18의 증명에 문제가 있습니다.
저는 현재 Pedersen의 분석에서 발의안 4.3.18의 증거를 이해하려고합니다.
각 Tychonoff 공간으로 $X$ Hausdorff 압축이 있습니다 $\beta(X)$, 모든 연속 함수가 $\Phi: X \to Y$, 어디 $Y$ 컴팩트 한 Hausdorff 공간으로 연속 기능으로 확장 $\beta \Phi: \beta(X) \to Y$.
증거는 $C_b(X)$ 교환 단위 C입니다.$^*$-대수, 따라서 (교환 및 단위) C에 등각 동형입니다.$^*$-형식의 대수 $C(\beta(X))$, 어디 $\beta(X)$ 소형 Hausdorff 공간입니다.
교환 및 단일 C 범주 사이의 Gelfand 이중성에 의해$^*$-대수 및 소형 Hausdorff 공간의 범주, 우리는 $\beta(X) = \Omega(C_b(X))$, 문자의 공백 $C_b(X)$.
그런 다음지도를 정의 할 수 있습니다. $\iota: X \to \beta(X)$, 어디 $\iota(x)(\phi) := \phi(x)$ 모든 $x \in X$ 과 $\phi \in \beta(X)$.
내가 이해하기 힘들다는 증거의 특정 부분은 $\iota(X)$ 밀도가 높다 $\beta(X)$.
그는 만약 $\iota(X)$ 조밀하지 않다 $\beta(X)$, 0이 아닌 연속 맵이 있습니다. $f: \beta(X) \to \mathbb{C}$ 사라지다 $\iota(X)$. 이해합니다. 그런 다음 그는 식별 아래에$C_b(X) = C(\beta(X))$, 이것은 불가능 해. 이것은 내가 갇힌 문장입니다. 이 식별로 불가능한 이유는 무엇입니까?
우리는 $C_b(X)$ isometrically isomorphic to $C(\Omega(C_b(X)))$ 지도를 통해 $\delta: g \mapsto (\delta_g: \Omega(C_b(X)) \to \mathbb{C}, \phi \mapsto \phi(g))$. Pedersen이 얻고있는 것은지도가$\delta^{-1}(f)$0이지만 이것이 사실임을 보여줄 수는 없습니다. 이 답변 은 또한 유사한지도가 0이라고 주장합니다.
요약하면 내 질문은 다음과 같습니다.
우리는 그것을 보여줄 수 있습니까? $\iota(X)$ 밀도가 높다 $\beta(X)$ 그것을 보여줌으로써 $\delta^{-1}(f) = 0$? 그렇다면 어떻게해야합니까?
답변
최근에이 모든 것을 나 자신을 위해 자세히 썼으므로 여기에서 내 메모를 공유합니다. 다음과 같은 가정에 유의하십시오.$X$Tychonoff는 생략 할 수 있습니다. 건설은 모든 토폴로지 공간에서 작동합니다. Tychnoff 가정은 표준 포함이 주입적임을 보장하기위한 것입니다.
만약 $A$ 교환 적이다 $C^*$-대수, 그러면 우리는 문자의 공간을 고려할 수 있습니다 $\Omega(A)$. 만약$A$ 단결하다 $C^*$-대수, 그러면 이것은 약한 사람들을위한 컴팩트 한 Hausdorff 공간이됩니다.$^*$-토폴로지. 자연지도가 있습니다.$$i_X: X \to \Omega(C_b(X)): x \mapsto \text{ev}_x$$ 그물에 대한 쉬운 논증이 보여주는 것처럼 이것은 분명히 연속적인지도입니다.
Lemma :지도$i_X$ 조밀 한 이미지가 있습니다.
증명 : 반대로 가정$\overline{i_X(X)}\subsetneq \Omega(C_b(X))$. 그런 다음 Urysohn의 기본형이 소형 Hausdorff 공간에 적용되었습니다.$\Omega(C_b(X))$ 0이 아닌 연속 함수를 제공합니다. $f: \Omega(C_b(X))\to \mathbb{C}$ 그것은 0입니다 $i_X(X)$. 표준 동형을 고려하십시오.$$\Psi: C_b(X) \to C(\Omega(C_b(X))): \omega \mapsto \text{ev}_\omega$$ 고르다 $\omega \in C_b(X)$ 와 $\text{ev}_\omega = f$. 그럼 모두를 위해$x \in X$, 우리는 $$\omega(x) = \text{ev}_x(\omega) = \text{ev}_\omega(\text{ev}_x) = f(i_X(x)) = 0$$ 그래서 $\omega = 0$, 이것은 모순입니다. $\quad \square$
정리 : If$X$ 위상 공간입니다. $(\Omega(C_b(X)), i_X)$ Stone-Čech 압축 $X$.
증명 : Let$K$ 컴팩트 한 Hausdorff 공간이되어 $f: X \to K$연속적인지도 여야합니다. 이것은$*$-모피 즘 $$C(f): C(K) \to C_b(X): g \mapsto g \circ f$$ 그리고 이것은 연속적인지도를 유도합니다 $$\Omega(C(f)): \Omega(C_b(X)) \to \Omega(C(K)): \chi \mapsto \chi \circ C(f)$$ 고려하다 $*$-동형 $$i_K: K \to \Omega(C(K)): k \mapsto \text{ev}_k$$
그런 다음 연속지도를 정의합니다. $F:= i_K^{-1}\circ \Omega(C(f)): \Omega(C_b(X)) \to K$. 또한, 우리는$F\circ i_X= f$. 실제로$x \in X$, 다음 $$i_K(F \circ i_X(x)) = i_K (F(\text{ev}_x)) = \Omega(C(f))(\text{ev}_x) = \text{ev}_x \circ C(f)= \text{ev}_{f(x)}= i_K(f(x))$$ 그래서 주입성에 의해 $i_K$ 우리는 얻는다 $F \circ i_X = f$.
조건 $F \circ i_X = f$ 결정 $F$ 유일하게 $i_X(X)$, 밀도가 $\Omega(C_b(X))$앞의 기본형에 의해. 그러므로$F$ 독특합니다. $\quad \square$
특수 문자 세트를 고려하십시오. $C_b(X)$, 각각 $x\in X$ 밝히다:
$$\delta_x: C_b(X)\to\Bbb C, \quad g\mapsto g(x)$$
(0이 아닌) 문자 이후 $C_b(X)$ 의 포인트입니다 $\beta X$ 이것은 당신에게 임베딩의 방법을 제공합니다 $X$ 으로 $\beta X$. 이제$f$ 지속적인 기능 $\beta X$ 요소로도 식별 할 수 있습니다. $\tilde f\in C_b(X)$즉 $\tilde f = \delta^{-1}(f)$당신의 표기법을 사용합니다. 기억$$f(\delta_x) = \delta(\tilde f)\,(\delta_x) = [\phi \mapsto \phi(\tilde f)]\,(\delta_x)= \delta_x(\tilde f) = \tilde f(x) $$
물어봐 $f$ 사라진다 $X$ 그것을 묻는다 $f(\delta_x)=0$ 모든 $x\in X$, 특히 $\tilde f$ 이것은 다음과 같습니다. $$\tilde f(x)=0\quad \forall x\in X$$ 유일한 기능 $C_b(X)$ 이 속성을 만족하는 것은 제로 함수입니다.