페르마의 마지막 정리 $\pm1$

Question

정수 에 대한 Code Golf.SE 에 대한 도전 을 계획하고 있습니다.$a, b, c \ge 0$ 그런

$$a^n + b^n = c^n \pm 1$$

주어진 정수에 대해 $n > 2$. 그러나 나는 이것에 대한 사소하지 않은 해결책이 주어진 것에 대해 존재하는지에 관심이 있습니다.$n$. 여기서는 "사소하지 않은"솔루션을 트리플로 정의합니다.$a, b, c$ 이러한 세 가지 모두 고유하고 0이 아닙니다 (즉, $(a, 1, a)$ 과 $(a, 0, a)$및 관련 트리플).

나는 그러한 트리플의 존재에 관한 관련 (그리고 더 광범위한) 질문을 묻는 이 질문을 발견 했으며 수용 된 대답은 다음과 같습니다.

나는 $n\ge5$ (그리고 ABCD 추측을 가정하면) $k$, 방정식 $$ a^n + b^n - c^n = k $$ 유한하게 많은 솔루션이 있습니다. $a,b,c\in\mathbb{Z}$ 와 $|a|,|b|,|c|$ 구별되고 0이 아닙니다.

그러나 이것은 0이 아닌 별개의 0이 아닌 솔루션이 있는지 여부를 완전히 설명하지 않습니다.

이것은 이러한 트리플을 찾으려고 시도하는 프로그램입니다.$0 \le a, b, c \le 100$, 주어진 입력 $n$, 그러나 지금까지 둘 중 하나를 찾지 못했습니다. $n = 4$ 또는 $n = 5$, 상한을 상당량 늘리면 시간이 초과됩니다.

따라서 내 질문은 다음과 같습니다.

• 모든 정수에 대해 $n > 2$, 방정식 $a^n + b^n = c^n \pm 1$ 최소한 하나의 중요하지 않은 솔루션이 있습니다. $a, b, c \ge 0$?
• 그렇지 않은 경우 범위를 확장합니까? $a, b, c$ ...에 $\mathbb{Z}$ 영향을 주거나 변경 하시겠습니까?

Answer 1

[편집 됨] 전혀 해결책이 없을 가능성이 높습니다. $n \ge 4$. 에 대한$n \ge 5$해결책은 Lander, Parkin 및 Selfridge 추측에 대한 반례가 될 것 입니다. 내가 아는 최고의 FLT "near miss"는$13^5 + 16^5 = 17^5 + 12$.

Answer 2

2015 년 9 월 26 일 숫자 이론 목록에 보낸 " 페르마의 마지막 정리와 관련된 추측 "메시지 에서 다음과 같이 썼습니다.

1936 년 K. Mahler는 $$(9t^3+1)^3 + (9t^4)^3 - (9t^4+3t)^3 = 1.$$ 분명히, $$|1^n+1^n-2^n| = 2^n-2\ \mbox{for every}\ n = 4,5,6,\ldots$$ 과 $$13^5+16^5-17^5 = 371293+1048576-1419857 = 12 < 2^5-2.$$

여기서 나는 Fermat의 Last Theorem의 추가 개선으로 볼 수있는 다음과 같은 추측을보고합니다.

CONJECTURE (2015 년 9 월 24-25 일). (i) 모든 정수$n > 3$ 과 $x,y,z > 0$ 와 $\{x,y\}\not= \{1,z\}$, 우리는 $$|x^n+y^n-z^n|\ge2^n-2,$$

아니면 $n = 5$, $\{x,y\} = \{13,16\}$ 과 $z = 17$.

(ii) 모든 정수의 경우 $n > 3$ 과 $x,y,z > 0$ 와 $z\not\in\{x,y\}$, 프라임이 있습니다 $p$ 와 $$x^n+y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n+y^n, $$

아니면 $n = 5$, $\{x,y\} = \{13,16\}$ 과 $z = 17$.

(iii) 모든 정수의 경우 $n > 3$, $x > y \ge0$ 과 $z > 0$ 와 $x\not=z$, 항상 소수가 있습니다. $p$ 와
$$x^n-y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n-y^n. $$

저는 Mathematica를 통해이 새로운 추측을 확인했습니다. 예를 들어, 추측의 (i) 부분을 확인했습니다.$n = 4,\ldots,10$ 과 $x,y,z=1,\ldots,1700$.