필수적인 정체성
$\newcommand\la\lambda\newcommand\w{\mathfrak w}\newcommand\R{\mathbb R}$수치 계산 및 기타 고려 사항 ( iid 지수 변수 평균의 최소값 )은
$$\int_\R \frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}$$ ...에 대한 $u\in(0,1)$, 적분은 주요 가치 의미에서 이해됩니다. 그러나 Mathematica의 도움으로도 이것을 증명할 수 없었습니다.
이것이 어떻게 증명 될 수 있습니까?
답변
복잡한 평면의 위쪽 절반에있는 윤곽을 닫습니다. 주요 값이 선택됩니다. $i\pi$ 잔류 물$^\ast$ ...에서 $t=0$, 즉 $u/(1-u)$. 다른 극은 없습니다.$^{\ast\ast}$
$^\ast$ $\frac{1-e^{i t u}}{e^{i t u}-i t-1}=\frac{u}{1-u}+{\cal O}(t^2).$
$^{\ast\ast}$ 극은 $t=i\tau$ 와 $e^{-\tau u}+\tau=1$ (을 제외한 $\tau=0$, 분자에 의해 취소됨); 이것들은 남아있다$\tau<0$ 모든 $u\in(0,1)$, 접근 중 $-2(1-u)$ ...에 대한 $u\rightarrow 1$.
댓글에는 수치 평가에 문제가있었습니다. 이 유형의 주요 값 적분은 다음을 대체하여 더 정확하게 평가할 수 있습니다.$1/t$ 으로 $\frac{d\log |t|}{dt}$부분 통합을 수행합니다. 이것은 준다$$\int_{-\infty}^\infty dt\,\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{1}t= -2i\Im\int_{0}^\infty dt\,\ln|t|\frac{d}{dt}\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}.$$ 케이스 $u=1/2$ 주석에서 고려한 Mathematica는 3.1406을 제공합니다.
$\newcommand\eps\varepsilon$ 우리는 그것을 보여주고 싶습니다. $R\to\infty$ 과 $\eps\to 0+$, 우리는 $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)} \frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}+o(1).$$ 마찬가지로 $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)}\left(\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}+1\right)\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}+o(1).$$ 다시 말해, $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=\pi\,\frac u{u-1}+o(1).$$ 적분은 다음을 포함하는 오픈 세트에서 홀로 모픽입니다. $\{t\in\mathbb{C}:\text{$\ Im (t) \ geq 0$ and $t \ neq 0$}\}$따라서 Cauchy의 정리에 의해 $$\int_{\gamma(R)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=-\pi+o(1)\qquad\text{and}\qquad \int_{\gamma(\eps)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=\frac{\pi}{u-1}+o(1),$$ 어디 $\gamma(r)$ 반원입니다 $\{t\in\mathbb{C}:\Im(t)\geq 0\}$ 출발 $r$ ...에 $-r$. 대형$r$, 적분 $\gamma(r)$ 이다 $i/t+O(1/t^2)$. 작은$r$, 적분 $\gamma(r)$ 이다 $-i/(t(u-1))+O_u(1)$. 결과는 다음과 같습니다.
적분의 극점에 대한 Carlo Beenakker의 주장을 자세히 설명합니다. 한다고 가정$t=x+iy$ 그런 극입니다. $x$ 과 $y$진짜입니다. 그때$$1-y=e^{-uy}\cos ux,\quad x=e^{-uy}\sin ux.$$ 한다고 가정 $y>0$. 만약$x=0$ 그때 $1-y=e^{-uy}\ge1-uy$, 그래서 $(u-1)y\ge0$, 조건에 위배됩니다. $y>0$ 과 $u\in(0,1)$. 그래서,$x\ne0$ 따라서 $$\frac{\sin ux}{ux}=\frac{e^{uy}}u>1,$$ 불평등에 모순되는 $\frac{\sin v}{v}\le1$ 모든 진짜 $v\ne0$.
그래서, $y\le0$.
지금이라면 $y=0$ 그때 $1=\cos ux$ 따라서 $x=\sin ux=0$.
따라서 유일한 극 $x+iy$ 와 $y\ge0$ 이다 $0$.