푸리에 시리즈의 $f(x)=|x|$ 점과 균일하게 수렴 $f(x)$ 의 위에 $[-\pi,\pi]$.
푸리에 시리즈 $f(x)=|x|$ 의 위에 $[-\pi,\pi]$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $$f(x)\sim \dfrac{\pi}{2}+2\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx}.$$
이 포스트 는 푸리에 급수의 절대적이고 균일 한 수렴을 보여줍니다.$[-\pi,\pi]$. 그러나 나는이 푸리에 급수가 균일하게 수렴된다는 것을 보여주고 싶다.$f$ 전체적으로 $[-\pi,\pi]$.
이를 위해 부분 합계를 정의합니다. $$S_{N}:=\dfrac{\pi}{2}+2\sum_{n=1}^{N}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx},$$ 그리고 추정하려고 $|f(x)-S_{N}(x)|$. 예비 결과가 있지만 나에게주지 않습니다.$$\sup_{x\in[-\pi,\pi]}|f(x)-S_{N}(x)|\longrightarrow 0,$$ 언제 $N\rightarrow\infty$. 확실히, 나는 사용할 수 있습니다$\epsilon-N$ 정의하지만 내 예상 결과는 계산하기가 쉽지 않습니다. $N$ 각각 $\epsilon$.
다음은 내 추정치입니다.
같이 $|e^{-inx}|=1$, 우리는 다음 추정치를 가질 수 있습니다 \begin{align*} |f(x)-S_{N}(f)(x)|=\Bigg|f(x)-\dfrac{\pi}{2}-2\sum_{n=1}^{N}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx}\Bigg|&\leq |f(x)|+\dfrac{\pi}{2}+2\sum_{n=1}^{N}\Bigg|\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}\Bigg|\\ &=|x|+\dfrac{\pi}{2}+2\sum_{n=1}^{N}\Bigg|\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}\Bigg|\\ &\leq \dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{2}}\\ &\leq \dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{4}{\pi}\Bigg(\dfrac{\pi^{2}}{6}-\dfrac{1}{N+1}\Bigg)\\ &=\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{4}{\pi(N+1)}. \end{align*}
그러다 막혔어요. 우리는 경계가 의존하지 않는 좋은 결과를 가지고 있습니다.$x$, 그러나 한계를 해결하십시오 $<\epsilon$정말 복잡해 보입니다. 이걸 더 멋지게 만들 수있는 방법이 있습니까? 가장 좋은 경우는 경계가$0$ 언제 $N\rightarrow\infty$.
감사합니다!
편집 : Pointwise Convergence
"Mostafa Ayaz"의 대답이 제안했듯이, 우리는 먼저 푸리에 급수가 수렴한다는 것을 증명해야합니다. $f(x)$ 간격에서 포인트 $[-\pi,\pi]$.
사실 균등 수렴을 직접 증명 한 이유는 포인트 별 수렴을 어떻게 증명해야할지 몰랐기 때문이다.
내 말은, 시리즈가 수렴한다는 것을 증명하는 것은 간단하지만 포인트 적으로 수렴한다는 것을 증명하는 방법은 $f(x)$ 전체적으로 $[-\pi,\pi]$?
편집 2 :
괜찮아. 방금 기억 했어$f(x)=|x|$ 홀더 연속이므로 부분 합계는 점적으로 수렴해야합니다.
답변
귀하의 접근 방식은 정확하지만 첫 번째 단계에서 삼각형 부등식을 사용하는 것은 약간 과잉이며 관련없는 경계로 이어집니다. 다음을 수행하십시오.$$ |f(x)-S_{N}(f)(x)|{=\Bigg|f(x)-\dfrac{\pi}{2}-2\sum_{n=1}^{N}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx}\Bigg| \\= \Bigg|\dfrac{\pi}{2}+2\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx}-\dfrac{\pi}{2}-2\sum_{n=1}^{N}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx}\Bigg| \\= \Bigg|2\sum_{n=N+1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}e^{-inx}\Bigg| \\\le \Bigg|2\sum_{n=N+1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}\Bigg| \\\le \sum_{n=N+1}^{\infty}\dfrac{4}{\pi n^{2}} } $$ 지금부터는 매우 간단합니다.