평가 $\int_0^{\pi/2} x \sin(x)dx$ 부품 통합없이

Question

통합이 가능합니까? $\int_0^{\pi/2} x \sin(x)dx$ 부품 통합을 사용하지 않고?

사실은 $\sin(x)$ 사이에있다 $-1$ 과 $1$ 어떤 식 으로든 사용됩니까?

Answer 1

간단한 방법을 사용하지 않고 맹목적으로 빠른 답변을 얻는 "간단한 방법"이 있습니다. $$ \begin{aligned} x\sin x &= \frac{x^2}{1!}-\frac{x^4}{3!}+ \frac{x^6}{5!}-\frac{x^8}{7!}+\dots \\ \int_0^x t\sin t\; dt &= \frac{x^3}{3\cdot1!}-\frac{x^5}{5\cdot3!}+ \frac{x^7}{7\cdot5!}-\frac{x^9}{9\cdot 7!}+\dots \\ &= \frac{3-1}{3!}x^3 -\frac{5-1}{5!}x^5 + \frac{7-1}{7!}x^7-\frac{9-1}{9!}x^9+\dots \\ &= \left(\frac{x^3}{2!}-\frac{x^5}{4!}+\frac{x^7}{6!}-\frac{x^9}{8!}+\dots\right)- \left(\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}-\frac{x^9}{9!}+\dots\right) \\ &=x(1-\cos x) - (x-\sin x) \\ &=\sin x-x\cos x\ , \\ \int_0^{\pi/2} t\sin t\; dt &= 1\ . \end{aligned} $$ (나는 학생들이 시리즈 조작을 좋아하고 부품 별 통합으로 전환하지 않을 것이라고 확신합니다 ...)

Answer 2

순진한 학생은 역도 함수가 $-x \cos(x)$, 이후 $\int \sin(x) \; dx = -\cos(x)$. 그것은 잘 작동하지 않습니다.$\dfrac{d}{dx} (-x \cos(x)) = x \sin(x) - \cos(x)$. 하지만 쉽게 수정할 수 있습니다. 용어 만 추가하면됩니다.$\sin(x)$, 그래서 그 파생물 $\cos(x)$ 제거합니다 $-\cos(x)$. 그래서 역도 함수는$-x \cos(x) + \sin(x)$.

Answer 3

한 가지 접근 방식은 적분 하에서 구별하기 위해 Leibniz의 규칙 (일명 Feynman의 트릭)을 사용하는 것입니다. 허락하다$F(x)$ 적분으로 정의되다

$$\begin{align} F(x)&=\int_a^b \cos( xy)\,dy\\\\ &=\frac{\sin(xb)-\sin(xa)}{x}\tag1 \end{align}$$

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다음으로 오른쪽을 차별화하여 $(1)$, 우리는 $F'(x)$ ~에 의해 주어진다

$$\begin{align} F'(x)&=-\int_a^b y\sin(xy)\,dy\\\\ &=\frac{b\cos(xb)-a\cos(xa)}{x}-\frac{\sin(xb)-\sin(xa)}{x^2}\tag2 \end{align}$$

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마지막으로 설정 $x=1$ 에 $(2)$ 탐내는 결과를 낳는다

$$\begin{align} -F'(1)&=\int_a^b y\sin(y)\,dy\\\\ &=a\cos(a)-b\cos(b)+(\sin(b)-\sin(a)) \end{align}$$

그리고 우리는 끝났습니다!

Answer 4

여기에 어리석은 접근 방식이 있습니다. 추측 역도 보이는 몇 가지 상수, 좋아하는$\{a,b,c,d\}$, $$ a x\cos(x) + b x\sin(x) + c\cos(x) +d\sin(x)+C $$ 이 표현의 미분을 취하고 값을 구하십시오. $a,b,c,d$적분을 복구합니다. 그런 다음 FTC를 사용하십시오.

Answer 5

우리가하고 싶지 않은 유일한 이유 경우 명백한 부품으로 통합이 아직 배우지 않은 것입니다 ... 당신은 할 수 있습니다 비밀 추가하고 빼서 부분적 분을$\cos x$ - "영리한 속임수"처럼 보일 것입니다.

$\begin{array}{rcl}\int x\sin x dx&=&\int (x\sin x-\cos x)dx + \int \cos x dx\\&=&\int\frac{d}{dx}(-x\cos x) dx+\sin x + C\\&=&-x\cos x + \sin x + C\end{array}$

Answer 6

차별화로 시작 $x \sin(x)$

$$\dfrac{d}{dx} (x \sin(x)) = x \cos(x) + \sin(x)$$

그런 다음 양쪽을 통합

$$\int_0^{\pi/2} \dfrac{d}{dx} (x \sin(x)) \, dx = \int_0^{\pi/2} x \cos(x) + \sin(x)\, dx $$

대체 사용 $x=u+\frac{\pi}{2}$ 따라서 오른손 적분

$$\int_{0}^{\pi/2} \dfrac{d}{dx} (x \sin(x)) \, dx = \int_{-\pi/2}^{0} (u+\frac{\pi}{2}) \cos(u+\frac{\pi}{2}) + \sin(u+\frac{\pi}{2})\, dx $$

재배치

$$\int_{-\pi/2}^{0} u \cos(u+\frac{\pi}{2}) \, du=\int_0^{\pi/2} \dfrac{d}{dx} (x \sin(x)) \, dx-\int_{-\pi/2}^{0} \frac{\pi}{2} \cos(u+\frac{\pi}{2}) + \sin(u+\frac{\pi}{2})\, du$$

이후 $\cos(u+\frac{\pi}{2})=-\sin u$ 과 $\sin(u+\frac{\pi}{2})=\cos u$ 우리는

$$\int_{-\pi/2}^{0} -u \sin(u)\, du=\int_0^{\pi/2} \dfrac{d}{dx} (x \sin(x)) \, dx-\int_{-\pi/2}^{0} -\frac{\pi}{2} \sin(u) + \cos(u)\, du$$

먼저 활용 $\sin(-u)=-\sin(u)$ 대입과의 첫 번째 적분에서 $u=y-\pi$ 줄 마지막 적분에서 $$\int_{0}^{\pi/2} u \sin(u)\, du=\int_0^{\pi/2} \dfrac{d}{dx} (x \sin(x)) \, dx- \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi/2} \sin(y) \,dy+\int_{0}^{\pi/2} \cos(y)\, dy$$

이것은 제가 매우 복잡하게 만들었던 오래된 아이디어입니다.하지만 당신은 아이디어를 얻었습니다.