평가 $\int \ln(2x+3) \mathrm{d}x$

Question

평가 $$\int \ln(2x+3)\mathrm{d}x$$

세트 $r = 2x+3 \rightarrow \mathrm{d}r = 2\mathrm{d}x$

그래서 적분은 $\displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r$

세트 $u=\ln(r)$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}r$, 그래서 $\mathrm{d}u = \frac{1}{r}\mathrm{d}r$ 과 $v=r$

$\implies \displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\int u\, \mathrm{d}v=\frac{1}{2}(uv-\int v\, \mathrm{d}u) = \frac{1}{2}\left(\ln(r)r-\int \mathrm{d}r\right) = \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\left(x+\frac{3}{2}\right)+C$

하지만 정답은 $\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C$

누군가 내 실수가 어디에 있는지 그리고 문제를 해결하는 더 나은 방법을 보여줄 수 있습니까? 감사!

Answer 1

실수가 없습니다. $C$ 임의의 상수이고 $-\frac 3 2+C$ 또 다른 상수 $C'$. 그리고이 질문에 답하는 더 좋은 방법은 없습니다.

Answer 2

대체 방법

중히 여기다, $$\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}=\ln(2x+3)+\frac{2x}{2x+3}$$ 정리, $$\ln(2x+3)=\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}-\frac{2x}{2x+3}$$ 따라서 양쪽을 통합하면 답을 얻을 수 있습니다.

Answer 3

상수와 다른 상수를 다른 상수로 나타낼 수 있으므로 솔루션이 정확합니다. $-\frac{3}{2}+C=C_1$.

대안으로 부품별로 통합하고 $u=\ln(2x+3)$ 과 $dv=dx$. 그때$du=\frac{2}{2x+3}$ 그리고 우리는 $v=x+\frac{3}{2}$. 그것은 다음과 같습니다\begin{align}\int \ln(2x+3)\,dx&=\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \left(x+\frac{3}{2}\right)\frac{2}{2x+3}\,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C, \end{align} 예상대로!