평가 $\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$
$$\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$$
나는 '연속성 아이디어'를 사용하지 않고이 한계를 평가해야한다. 그래서 대체 할 수 없다고 생각합니다$-2$함수에 들어가 한계를 찾을 수 있습니까? 이 제한을 찾으려면 어떻게해야합니까?
답변
우리는 그것을 추측 할 수 있습니다 $\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=59$ 이를 증명하기 위해 정의를 사용하여 $\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta>0 \:\forall x\: |x-(-2)|=|x+2|<\delta$ 우리는
$$|3x^4+2x^2-x+1-59|=|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \varepsilon$$
그런 다음 wlog 가정 $|x+2|<1$ 그건 $-3<x<-1$ 그때
$$|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \delta|3x^3-6x^2+14x-29| \le 206 \,\delta$$
이후 $f(x)=x^3-6x^2+14x-29$ 엄격하게 증가하는 음수 $x\in[-3,-1]$ 과 $|f(-3)|=206$, 가정하면 충분합니다.
$$\delta \le \frac{\varepsilon}{206}$$
관련도 참조
- "적합한"찾기 $\delta$ 한계가 주어졌다
- (ε, δ)-한계 정의에 관한 질문
그때 이후로 $$lim_{x \to -2} 3x^{2}=3(-2)^{4},$$ $$\lim_{x\to -2}2x^{2}=2(-2)^{2},$$ $$\lim_{x\to -2}-x=-(-2)$$과 $$\lim_{x \to -2}1=1$$따라서 다음과 같이 결론을 내릴 수 있습니다. $$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)$$존재하고 또한 $$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=3(-2)^{4}+2(-2)^{2}-(-2)+1=59.$$
제한 속성 만 필요합니다.