편미분의 체인 규칙에 관한 질문

Question

허락하다 $f: \mathbb{R^2} \to \mathbb {R}$ 미분 할 수있는 기능이고 기능을 고려하십시오 $F:\mathbb{R^3}\to \mathbb{R}, F(x, y, z)=f(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. 계산$\frac{\partial F}{\partial x}$, $\frac{\partial F}{\partial y}$ 과 $\frac{\partial F}{\partial z}$ 측면에서 $f$의 1 차 편도 함수.
나는 그것을 인식하면서 시작했다$F=f\circ g$, 어디 $g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R^2}, g(x, y, z)=(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. 표시하자$u(x,y,z):=x^2-y+2yz^2$ 과 $v(x,y,z)=z^3e^{xy}$ $g$의 구성 요소.
사슬 규칙에 따라$$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\cdot \frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z)+ \frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\frac{\partial v}{\partial x}(x,y,z)$$ 그리고 같은 관계가 $\partial y$ 과 $\partial z$, 그러나 더 단순화 할 수 있는지 / 어떻게 이해할 수 없습니다. $\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$ 과 $\frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. 내가 이해하는 한, 이것들은$f$ 기능과 관련하여 $u$ 과 $v$. 어떻게 계산합니까?

Answer 1

더 명확하게하려면 $u$ 과 $v$ 변수 $f$, 어디 $$u=x^2-y+2yz^2,\qquad v=z^3\mathrm e^{xy}.$$

체인 규칙은 다음과 같이 주장합니다. \begin{align} \frac{\partial F(x,y,z)}{\partial x}&=\frac{\partial f(u,v )}{\partial u}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot \frac{\partial u(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot\frac{\partial v(x,y,z)}{\partial x} \\ &=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot 2x+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot yz^3\mathrm e^{xy} \end{align} 다른 편도 함수에 대해서도 유사합니다.

Answer 2

도함수에 체인 규칙을 사용하는 경우 $multivariate$ 기능, 당신은 읽을 수 있습니다 $partial$파생 상품. 보다 정확하게는 귀하의 아이디어에 따라

$F'(x_0,y_0,z_0)=(f\circ g)'(x_0,y_0,z_0)=f'(g(x_0,y_0,z_0))\circ g'(x_0,y_0,z_0).$

매트릭스 형태로,

$\begin{pmatrix} F_x(x_0,y_0,z_0) &F_y(x_0,y_0,z_0) &F_z (x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} f_x(g(x_0,y_0,z) & f_y(g(x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2x_0 &2z_0^2-1 & 2y_0z_0\\ y_0z_0^3e^{x_0y_0}& x_0z_0^3e^{x_0y_0} & 3z_0^2e^{x_0y_0} \end{pmatrix}$

이제 행렬을 곱하여 미분을 읽습니다.