표면에 대한 Thurston의 작업과 관련된 진술

Question

단순한 폐곡선이 있다면 $\alpha$ 과 $\beta$ 표면에 $\Sigma_g$, 교차로 번호 $i(\alpha ,\beta)$ 최소 카디널리티로 정의됩니다. $\alpha_1\cap\beta_1$ 같이 $\alpha_1$ 과 $\beta_1$ 모든 단순 폐쇄 곡선에 대한 동위 원소 범위 $\alpha$ 과 $\beta$, 각각. 우리는 말을$\alpha$ 과 $\beta$ 최소한으로 교차하는 경우 $i(\alpha ,\beta) = |\alpha\cap\beta|\,$.

그것을 보는 방법 $\alpha$ 과 $\beta$ 쌍이없는 경우 최소한으로 교차 $p,q\in\alpha\cap\beta$ 아크 결합 $p$ ...에 $q$ ...을 따라서 $\alpha$ 호가 뒤따르다 $q$ 돌아가다 $p$ ...을 따라서 $\beta$ 디스크 경계 $\Sigma_g$?
증명 아이디어의 스케치일까요?

그 반대도 사실이라고 생각합니다. $\alpha$ 과 $\beta$ 쌍이없는 경우에만 최소한으로 교차 $p,q\in\alpha\cap\beta$ 아크 결합 $p$ ...에 $q$ ...을 따라서 $\alpha$ 호가 뒤따르다 $q$ 돌아가다 $p$ ...을 따라서 $\beta$ 디스크 경계 $\Sigma_g$. "

Answer 1

이를 "비곤 기준"이라고합니다. 논의는 Farb와 Margalit의 "클래스 그룹 매핑에 관한 입문서"의 섹션 1.2.4 (특히 발의안 1.7)를 참조하십시오.

구글 검색 "bigon 기준"은 또한 다양한 참고 문헌과 강의 노트를 찾습니다. 예를 들어, 다음은 최고 히트입니다.

https://math.stackexchange.com/questions/1646340/proof-of-the-bigon-criterion