Rindler 좌표의 가속

Aug 17 2020

다음 추론에서 기본적인 결함을 지적 해 주시겠습니까?

민코프 스키를 사용합니다 $x^\mu$ 및 Rindler 좌표 $\xi^\mu$

$$ x^\mu = (t,x) $$

$$ \xi^\mu = (\eta, \rho) $$

$$ x^\mu(\xi) = \rho \, (\sinh\eta, \cosh\eta) $$

$$ (x^1)^2 - (x^0)^2) = \rho^2; \qquad \frac{x^0}{x^1} = \tanh\eta $$

$$ ds^2 = -dt^2 + dx^2 = -\rho^2 \, d\eta^2 + d\rho^2 $$

그리고 세계적, 2 속도 및 2 단 가속도

$$ x^\mu(\tau) = a^{-1} \; (\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$

$$ \dot{x}^\mu(\tau) = (\cosh a\tau, \sinh a\tau) $$

$$ \ddot{x}^\mu(\tau) = a \,(\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$

$$ \ddot{x}_\mu \ddot{x}^\mu = a^2 $$

좋아.

이 월드 라인을 Rindler 좌표로 변환하면

$$ \xi^\mu(\tau) = (a\tau, a^{-1}) $$

$$ \dot{\xi}^\mu(\tau) = (a, 0) $$

예상대로이 월드 라인은 $ \xi^1(\tau) = \text{const.} $

하나

$$ \ddot{\xi}^\mu(\tau) = 0 \quad \implies \quad \ddot{\xi}_\mu \ddot{\xi}^\mu = 0 $$

가속도가 어디로 사라 졌습니까?

답변

2 TomS Aug 17 2020 at 16:07

좋아, 내가 장님 이었나 봐.

평평한 공간이지만 곡선 좌표에서는 다음을 사용하여 가속도를 계산해야합니다.

$$ a^\mu = \ddot{\xi}^\mu + \Gamma^\mu_{\kappa\lambda} \dot{\xi}^\kappa \dot{\xi}^\lambda $$

잘 작동합니다.

힌트 주셔서 감사합니다!