생성 함수를 사용하여 비균질 재발 관계 해결

Question

허락하다 $a_0=0, a_1=2,$ 과 $a_2=5$. 생성 함수를 사용하여 반복 방정식을 푸십시오.$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ ...에 대한 $n\geq0$.

이것은 Applied Combinatorics 의 책 문제 입니다. 태클에 대해 정말 혼란스러워$2^n$ 생성 함수를 사용하는 반복 관계의 일부입니다.

편집하다:

나는 반복을 시리즈로 변환해야한다는 것을 알고 있으며 그것을 세분화했지만 부분 분수를 수행하기 위해 적절한 형태로 만드는 데 어려움을 겪고 있습니다. 이것들은 내가 얻은 방정식입니다.

우리가 $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ 생성 기능 $a_n$ 그런 다음 계산 후 다음을 얻었습니다.

$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$

단순화 후 : $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$

그런 다음 부분 분수 분해는 다음과 같습니다. $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$

값을 연결하려고했지만 잘못된 것 같습니다. 내가 어디에서 잘못되었을 지 알려주세요.

Answer 1

생성 함수 파생 ​​어딘가에서 실수를 저질렀습니다 (이 부분을 포함하지 않았기 때문에 어디에 있는지 알기 어렵습니다).

\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} 해결하는 \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} 솔루션을 확인하십시오. 여기서 완료 할 수 있기를 바랍니다.