상한 디니 미분이 0보다 큰 연속 함수는 함수가 증가하고 있음을 의미합니다.

Question

허락하다 $f$ 계속되다 $[a,b]$ 와 $\bar D f \geq 0$ (상위 디니 유도체 $f$) 의 위에 $(a,b)$. 보여줘$f$ 증가하고있다 $[a,b]$. 힌트 : 이것이 사실임을 보여줍니다.$g$ 와 $\bar D g \geq \epsilon > 0$ 의 위에 $[a,b]$. 이것을 함수에 적용$g(x) = f(x) + \epsilon x$.

이것은 Royden-Fitzpatrick Analysis 4th edition 6.2 장의 질문 19입니다.

내 접근 방식은 다음과 같습니다.

1. $g$ 2 개의 연속 함수의 선형 조합이므로 연속적입니다.
2. $\bar D g = \bar D f + \epsilon \geq \epsilon > 0$ 즉 $g$ 엄격하게 증가하고 있습니다 $(a,b)$.
3. $f = g - \epsilon x$ 과 $\bar D f = \bar D g - \epsilon \geq 0$ 암시 $f$ 증가 중 (감소하지 않음) $(a,b)$.

말이 되나요? 도움을 주셔서 감사합니다. 이 질문은 연속 기능 과도 관련이 있습니다.$[a, b]$ 경계 상한 및 하한 도함수 사용 $(a, b)$ Lipschitz입니다.

Answer 1

어떻게 알았어 $2$보류? 사실, 이것이 증거의 요점입니다. 제가 귀하의 질문을 잘못 읽지 않는 한 약간의 작업을 수행해야합니다. (그림 그리기가 도움이 될 것입니다!) 먼저$\bar D f >0$ 의 위에 $(a,b)$. 만일 거기에$a<c<d<b$ 그런 $f(c)>f(d)$ 그런 다음 우리는 선택할 수 있습니다 $f(c)>\mu>f(d)$. 허락하다$S=\{t\in (c,d):f(t)>\mu\}$ 고려 $\xi=\sup S.$ 참고 $c<\xi<d$. 증가하는 순서를 취하십시오$(t_n)\subseteq (c,d)$ 그런 $t_n\to \xi.$ 그때, $f(t_n)\to f(\xi)$. 만약$f(\xi)\neq \mu$ 다음이 있습니다 $\mu<\alpha<f(\xi)$. 연속성$f$ 이제 간격이 있음을 의미합니다. $I=(\xi,\xi+\delta)$ 그런 $t\in I\Rightarrow f(t)>\alpha>\mu$. 그러나 이것은$\xi.$ 그러므로, $f(\xi)= \mu.$

우리는 각각에 대해 $t\in (\xi,d),\ \frac{f(t)-f(\xi)}{t-\xi}\le0$, 그리고 우리는 $ D^+ f(\xi)\le 0$, 이것은 모순입니다. 따라서이 주장은 엄격한 불평등과$now$ 우리는 정의 $g_{\epsilon}(t)=f(t)+\epsilon t$. 그것은 다음과 같습니다$\bar D g_{\epsilon} >0$ 의 위에 $(a,b)$ 그래서 $g_{\epsilon}$ 감소하지 않고 있으며 $\epsilon$ 임의적입니다. $f$ 또한 감소하지 않습니다.