사실인가요 $ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} $ [복제]

Question

허락하다 $ f $ 기능이있다 $ f'' $ 에 존재 $ x=0 $.

사실입니까?

$$ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} ~~?$$

이게 사실이 되려면 $ f'' $연속적이어야하며 주어지지 않아야합니다. 그러나 나는 반례를 찾기 위해 고군분투하고 있습니다. 두 배로 미분 할 수있는 함수를 찾아야하지만$ f'' $ 연속적이지 않습니다 (내가 상황을 이해했다고 가정).

도움을 주시면 감사하겠습니다. 미리 감사드립니다.

Answer 1

Taylor 확장을 사용할 수 있습니다. $$ f(x)=f(0)+xf'(0)+x^2f''(0)/2+x^2\sigma(x) $$ 어디 $\lim_{x\to0}\sigma(x)=0$. 그때\begin{align} \frac{1}{x}\Bigl(f'(x)-\frac{f(x)-f(0)}{x}\Bigr) &= \frac{1}{x^2}\Bigl(xf'(x)-xf'(0)-x^2f''(0)/2-x^2\sigma(x)\Bigr)\\[6px] &=-\frac{f''(0)}{2}-\sigma(x)+\frac{f'(x)-f'(0)}{x} \end{align}2 차 미분의 연속성은 필요하지 않습니다. 하나는 (첫 번째) 파생물이 이웃에 존재해야합니다.$0$ 그리고 차별화 가능 $0$.

Answer 2

이후

$${f'(x)-{f(x)-f(0)\over x}\over x}={f'(x)-f'(0)\over x}-{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}$$

과

$$\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over x}=f''(0)$$

그것을 보여 주면 충분합니다

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}={f''0)\over2}$$

이것은 L' Hopital 의 단일 응용 프로그램 으로 수행 할 수 있습니다 .

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}=\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over2x}={f''0)\over2}$$

(마지막 단계는 L' Hopital의 또 다른 라운드가 아니라 2 차 도함수의 정의입니다. 여기서 L' Hopital이 요구하는 유일한 조건은 1 차 도함수가 다음의 이웃에 정의된다는 것입니다. $0$,이를 위해서는 만족해야합니다. $f''(0)$ 존재합니다.)