서브 링을 보여주는 $K$ 의 $\mathbb H$ 동형 인 필드를 포함합니다. $\mathbb C$
허락하다 $K$ 서브 링이되다 $\mathbb H$, 쿼터니언의 고리, $\mathbb R \subseteq K$ 과 $\mathbb R \neq K$, 거기 $\mathbb R$실수의 고리입니다.
존재한다는 것을 보여줘$x \in K$ 그런 $ x^2 = -1$. 이 사실을 사용하여 추론하십시오.$K$ 동형 인 필드를 포함합니다. $\mathbb C$, 복소수의 고리.
내 추론 :
이후 $\mathbb R \subseteq K$ 그러나 $\mathbb R \neq K$, 일부가 있어야합니다. $u \in \{i, j, k\}$, 그런 $u \in K$, 어디 $i, j, k$ 쿼터니언 단위이며 특히
$i^2=j^2=k^2=-1$
이것은 나에게 발생했습니다. $K$ ~와 다르다 $\mathbb R$,이 단위 중 하나 이상을 포함해야합니다. 만약$K$ 실제로 포함 $u$, 다음 $u$ 의 해결책입니다
$x^2=-1$
이 시점에서 모든 것이 옳다면 $K$ 그런 포함 $x$,하지만 질문의 마지막 부분을 표시하는 방법을 모르겠습니다.
고려할 수 있을지 궁금해
$\mathbb R[u]=\{a+ub:a,b \in \mathbb R\}$
우리는 $\mathbb R[u] \subseteq K$, 이후 $\mathbb R \subseteq K$ 과 $u \in K$ 과 $K$ 반지입니다.
그것을 보여주기 위해 $\mathbb R[u]$ 필드이고 동형이라는 $\mathbb C$, 다항식과 몫을 사용하는 것은 "쉬운"것입니다.
$\mathbb R[u] \simeq \mathbb R[x]/(x^2+1)$
어디 $\mathbb R[x]$ 다항식의 고리입니다 $\mathbb R$ 과 $(x^2+1)$ 다항식에 의해 생성 된 주요 이상입니다 $x^2+1$, 뿌리가없는 $\mathbb R$, 최대로 만듭니다. 이 동형이 유지되는 이유는$x^2+1$ 최소 다항식 $u$ 위에 $\mathbb R$.
그러나 우리는 또한 알고 있습니다
$\mathbb C \simeq \mathbb R[x]/(x^2+1)$
실제로 볼 수있는 곳 $\mathbb C$ 같이 $\mathbb R[i]=\{a+ib:a,b \in \mathbb R\}$.
우리는
$\mathbb R[u] \simeq \mathbb C$
자,이 방법이 정확할 수도 있고 아닐 수도 있지만, 제 진짜 질문은 몫, 최대 이상 및 필드에 대한 다항식의 "고급"속성을 사용하지 않고이를 수행하는 방법을 찾는 것입니다. 그들 모두.
답변
잘 알려진 바와 같이 $\Bbb H$ 다음으로 구성된 기초를 가지고 있습니다.
$1 \in \Bbb R \tag 1$
과 $i$, $j$, $k$ 그런
$ij = k, \; jk = i, \; ki = j, \tag 2$
$i^2 = j^2 = k^2 = -1; \tag 3$
물론, (2)와 (3)은 함께 $i$, $j$, $k$통근 방지, 즉 :
$-j = i^2j = i(ij) = ik, \tag 4$
유사한 주장으로
$ji = -k, \; kj = -i; \tag 5$
(2)-(4)를 사용하여 우리는 $(ai + bj + ck)^2$, 어디 $a, b, c \in \Bbb R$:
$(ai + bj + ck)^2 = (ai + bj + ck)(ai + bj + ck)$ $= a^2ii + b^2jj + c^2kk + abij + acik + abji + bcjk + acki + bckj$ $= -a^2 - b^2 - c^2 + ab(ij + hi) + ac(ik + ki) + bc(jk + kj)$ $= -(a^2 + b^2 + c^2) < 0, \tag 6$
중 하나 이상 제공 $a$, $b$, $c$사라지지 않습니다. 이것은
$\left ( \dfrac{ai + bj + ck}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right )^2 = \dfrac{(ai + bj + ck)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = -1. \tag 7$
이제 $K$ 의 서브 링입니다 $\Bbb H$ 와
$\Bbb R \subsetneq K \subset \Bbb H, \tag 8$
그때 $K$ 요소를 포함해야합니다. $q \in\Bbb H$ 형태의
$q = r + ai + bj + ck, \tag 9$
와
$r, a, b, c \in \Bbb R, \tag{10}$
및 다음 중 하나 이상 $a$, $b$, $c$ 0이 아닌, 다음과 같은 것으로 쉽게 보이는 조건
$a^2 + b^2 + c^2 > 0; \tag{11}$
이후 $K$ 서브 링이고 (8)은
$r \in K, \tag{12}$
(9) 수익률
$p = ai + bj + ck = q - r \in K, \tag{13}$
그리고 위에서 본 것에서
$\left (\dfrac{p}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right )^2 = -1; \tag{14}$
이제 (8)과 (10)에 비추어 볼 때,
$\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \in K, \tag{15}$
따라서
$u = \dfrac{p}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \in K \tag{16}$
와
$u^2 = -1, \tag{17}$
위의 (14)에 표시된대로; 따라서 필드
$\Bbb R(u) \subset K, \tag{18}$
(17)을 사용하면 $\Bbb R(u)$ 모든 형태입니다 $a + bu$, $a, b \in \Bbb R$, 따라서 매핑
$\Bbb R(u) \ni a + bu \mapsto a + bi \in \Bbb C \tag{19}$
동 형사상 'twixt $\Bbb R(u)$ 과 $\Bbb C$; 간단한 세부 사항을 제공 할 수 있도록 충분히 참여하는 독자에게 맡기십시오.
Nota Bene, 수요일, 20 8 월 2020 11:24 PM PST : 위의 데모는 다음과 같은 하위 대수가 많다는 것을 나타냅니다.$\Bbb H$ 포함 $\Bbb R$ 및 동형 $\Bbb C.$
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출발점이 잘못되었습니다. 당신이 아는 것은 쿼터니언이 있다는 것입니다$a+bi+cj+dk$ 적어도 하나는 $b,c,d$ 0이 아닙니다.
초등학교 쿼터니언이 있어야 할 이유가 없습니다. $K$.
간단한 예는 $\mathbb{R}[q]$, 어디 $q=(i+j+k)/\sqrt{3}$, 이것은 실제로 필드 동형입니다. $\mathbb{C}$ 다음을 포함하지 않습니다. $i,j,k$.
허락하다 $u\in K$, $u\notin\mathbb{R}$. 그런 다음 쿼터니언$1,u,u^2,u^3,u^4$ 선형 적으로 독립적이지 않습니다. $\mathbb{H}$ 4 차원 이상 $\mathbb{R}$. 따라서 실제 계수가있는 다항식이 존재합니다.$u$. 반면 다항식은 차수가 1 또는 2 인 비 환원 인자로 분해 될 수 있으며, 쿼터니언은 분할 대수이므로 인자 중 하나는 다음에서 사라져야합니다.$u$. 그러한 요인은 2 차를 가져야합니다. 그렇지 않으면$u$ 진짜 일 것입니다.
일반성을 잃지 않고 다항식은 monic입니다. 따라서$a,b\in\mathbb{R}$ 그런 $u^2+au+b=0$. 이제 사각형을 완성 할 수 있습니다.$$ \Bigl(u-\frac{a}{2}\Bigr)^2+b-\frac{a^2}{4}=0 $$ 참고 $b-a^2/4>0$, 때문에 $x^2+ax+b$비 환원 다항식이라고 가정합니다. 세트$c=\sqrt{b-a^2/4}$ 과 $v=(u-a/2)/c$; 그것은 가정에서 따른다$v\in K$. 그때$c^2v^2+c^2=0$, 그 후 $v^2=-1$.
이제 보여줘 $\mathbb{R}[v]$필드입니다. 대수적이므로$\mathbb{R}$, 동형이어야합니다. $\mathbb{C}$.