서로 다른 시간적 킬링 벡터와 관련된 Hamiltonians에 대한 양자 장 이론의 양 에너지 조건
Unruh 효과는 두 명의 Hamiltonians가 $H$ 과 $\hat H$다른 timelike Killing 벡터 필드와 관련된 두 필드는 동일한 힐베르트 공간 표현에서 하한을 갖습니다. 비록 시공간 아이 소메 트리에 의해 서로 관련이 없더라도 마찬가지입니다. 이 질문은 일반화에 대해 묻습니다.
Hilbert 공간에서 작용하는 필드 연산자로 표현되는 평평한 시공간에서의 양자 장 이론을 고려하십시오. 허락하다$K$ 과 $\hat K$두 개의 서로 다른 시간과 같은 Killing 벡터 필드, 등거리 변환에 의해 서로 관련 될 필요는 없으며 전체 시공간을 포함하지 않을 수도 있습니다. (예를 들어 Rindler 좌표를 생각해보십시오.) Let$R$ 두 Killing 벡터 필드가 정의 된 시공간 영역이고 다음에서 관측 가능한 대수를 고려하십시오. $R$. 허락하다$H$ 과 $\hat H$ 이러한 관측 값의 번역을 생성하는 연산자 (해밀턴 인) $K$ 과 $\hat K$, 각각.
질문 : Hilbert 공간에서 해밀턴 사람들 중 한 사람의 스펙트럼이$H$하한이 있습니다. 이것은 다른 해밀턴의 스펙트럼이$\hat H$ (동일한 힐베르트 공간 표현에서) 하한이 있습니까?$^\dagger$
나는 방수 증거를 찾는 것이 아니라 단지 설득력있는 주장이다. 자유 장 이론의 각 단계를 확인할 수있을만큼 분명한 것이다.
그건 그렇고, 이것이 익숙하지 않은 경우를 대비하여 해밀턴 밀도 는 양자 장 이론에서 반드시 양의 정의가 아니며 해밀턴 자체가 양의 정의 인 표현에서도 마찬가지입니다. Fewster (2005) "양자 장 이론의 에너지 불평등",https://arxiv.org/abs/math-ph/0501073, (페이지 2) :
양자 장은 이러한 모든 점적 에너지 조건을 위반하는 것으로 오랫동안 알려져 왔으며 [4] 많은 모델에서 에너지 밀도는 실제로 물리적으로 합리적인 상태의 등급에서 아래로부터 제한되지 않습니다.
$^\dagger$ 질문은 연산자가 힐베르트 공간에서 어떻게 표현 되는지 에 관한 것입니다. 중요한 이유는$H$일반적으로 대부분의 힐베르트 공간 표현에는 하한이 없습니다. 스펙트럼 조건은 관찰 가능한 추상 대수의 속성이 아니라 특정 힐베르트 공간 표현의 속성입니다.
답변
대답은 ' 아니오'입니다 . 아이러니하게도 질문에 동기를 부여하는 데 사용한 예는 실제로 반례입니다. Rindler Hamiltonian의 스펙트럼에는 하한이 없습니다.
Rindler Hamiltonian은 Minkowski 시공간을 향상시킵니다. 응력-에너지 텐서에 대한 식은 식 (25)에 나와 있습니다.
- Jacobson, "시공간에서의 블랙홀과 호킹 복사 및 그 유사체", https://arxiv.org/abs/1212.6821
이 표현은 Rindler Hamiltonian이 하한을 가질 수 없음을 분명히합니다.
돌이켜 보면 이것은 대칭으로 분명합니다. 부스트의 역은 공간 반사와 결합 된 부스트와 동일합니다. 공간 반사는 스펙트럼을 변경하지 않지만 역은 스펙트럼의 부호를 뒤집습니다. 이것이 동일 할 수있는 유일한 방법은 스펙트럼이 0에 대해 대칭 인 경우입니다. 따라서 스펙트럼에 상한이 없으면 하한도 가질 수 없습니다.
메모:
Jacobson의 논문 (위에서 인용)은 하나의 "Rindler wedge"를 통합하여 얻은 부분적인 Hamiltonian 만을 고려 하지만 통합 표면은 Cauchy 표면이 아닙니다. Cauchy 표면에서 전체 Hamiltonian을 보려면 왼쪽과 오른쪽 Rindler 쐐기를 함께 고려해야합니다. 그러면 전체 Hamiltonian이 하한을 가질 수 없음이 분명합니다.
Unruh 효과 문헌 중 일부는 "진공 상태"라는 이름을 "최저 에너지 상태"와는 다른 의미로 암묵적으로 재정의합니다.
일부 미묘함에 대한주의 깊은 분석은 Requardt, "Unruh 시나리오에서 Rindler와 Minkowski 양자 장 이론 간의 엄격한 관계"를 참조하십시오. https://arxiv.org/abs/1804.09403
QFT (양자 장 이론)에서 라그랑주 밀도 $\mathcal L$로렌츠 불변으로 구성됩니다. Lagrangian을 기반으로 Hamiltonian 밀도를 구축합니다.$\mathcal H$, 양의 정의가 필요합니다.
참조 시스템을 변경하면 공식적으로 Lagrangian은 변경되지 않으므로 Hamiltonian도 변경되지 않습니다. 결과적으로 Hamiltonian의 양의 명확성은 변형 된 필드에 적용 되더라도 유지됩니다.
Minkowski 진공 청소기를 시작할 수 있다고 가정 해 보겠습니다. $(H-E_{\Omega})|{\Omega}\rangle=0$. 그런 다음 시간과 같은 Killing 벡터 (시간과 같은 곡선 또는 가속 관찰자를 지정하는 것으로 생각 함)에 대해 진공이 있는지 여부를 물어볼 수 있습니다. 지역적으로 킬링 필드가 정의 된 공간의 영역은 Rindler 좌표의 형태로 배치 할 수 있습니다. 즉, 적절한 시간의 각 인스턴스에서 가속이 무엇인지 알고 일반 공분산은 로컬 물리학이 Minkowski 공간과 동일하다는 것을 알려줍니다. 따라서이 관찰자에 대한 Minkowski 진공은 온도가 변하는 열 상태처럼 보일 것입니다. 즉, 가속 된 관찰자는 항상 온도를 할당 할 수있는 유효 지평을 봅니다. 따라서 Unruh 효과로 질문에 답해야합니다.