선형 질서의 모나드 이론에서 실수의 모나드 이론 해석.

Aug 17 2020

아래는 Gurevich, Shelah-Interpreting Second Order Logic in the Monadic Theory of Order에서 발췌 한 것 입니다. 나는 실제 라인의 모나드 이론이 모나드 질서 이론에서 어떻게 해석 될 수 있는지 이해하려고 노력하고 있습니다 (더 이상의 설명이나 증명은 포함하지 않고 쉽게 할 수 있다고 만 말함).

다음은 유용 할 수있는 몇 가지 정의입니다. 만약$(\alpha,<)$ '모나드 이론 $\alpha$'는 구조의 1 차 이론을 의미합니다. $(\mathcal{P}(\alpha),\subseteq,<)$ 어디 $<$ 의 순서입니다 $\alpha$싱글 톤 서브 세트에 주어집니다. '모나드 질서 이론'은 우리가 허용하는 모든 1 차 이론의 교차점입니다.$\alpha$ 모든 선형 순서에 따라 달라집니다.

아마도 재귀 적 공리 세트가 있습니까? $T_{\mathbb{R}}$ 그래서 우리가 모나드 질서 이론의 결합을 취한다면 $T_{\mathbb{R}}$ 우리는 구조의 완전한 이론을 얻습니다 $(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\subseteq,<)$? (주의 할 가치가있는 것은, 질서의 모나드 이론과$\mathbb{R}$ 결정할 수 없습니다).

이 '쉬운'해석을 찾을 수는 없지만 분명한 것을 놓치고 있다고 생각합니다.

답변

3 NoahSchweber Aug 17 2020 at 05:19

원래 전략을 수정하는 방법을 알지 못합니다. 특히 반례가 없지만 "끝점이나 격리 된 점이없는 Dedekind-complete 선형 순서이며 모든 하위 순서에 공동 성과 우연성이있는 것입니다. $\le \omega$" 반드시 고정 된 것은 아닙니다.$\mathbb{R}$ 동형까지.

그러나 우리는 여전히 예상되는 감소를 얻을 수 있습니다 (한눈에 이것은 해석 그 자체를 산출하지는 않지만 여전히 그것에 대해 생각합니다). 선형 순서라고$A$ 이다 $\mathbb{R}$Dedekind-complete이고 끝점이나 격리 된 점이없는 경우 ish입니다. 주요 관찰 내용은 다음과 같습니다.

(주형) 모두$\mathbb{R}$ish 순서는 다음과 같은 하위 순서를 갖습니다. $\mathbb{R}$및 모든 $\mathbb{R}$ish 하위 순서 $\mathbb{R}$ 동형이다 $\mathbb{R}$.

요점은 $\mathbb{R}$MSO 정의 가능한 의미에서 MSO 정의 가능한 주문 클래스의 맨 아래에 있습니다. 따라서 다음 번역을 수행 할 수 있습니다.

(정의) MSO 문장의 경우$\varphi$, 허락하다 $\hat{\varphi}$ MSO 문장 "Every $\mathbb{R}$ish 주문에는 $\mathbb{R}$ish 하위 주문 만족 $\varphi$. "

기본형에 따라 우리는 $\hat{\varphi}$ 질서의 MSO 이론의 일부입니다. $\mathbb{R}\models\varphi$:

  • 만약 $\mathbb{R}\not\models\varphi$ 그때 $\mathbb{R}\not\models\hat{\varphi}$, 모든 이후 $\mathbb{R}$ish 하위 순서 $\mathbb{R}$ 동형이다 $\mathbb{R}$ 기본형에 따라 따라서 또한 만족하지 않습니다 $\varphi$.

  • 반대로 $\mathbb{R}\models\varphi$ 그리고 매 $\mathbb{R}$ish 선형 순서는 $\mathbb{R}$ish 하위 주문 만족 $\varphi$ -즉, 모든 하위 순서 동형 $\mathbb{R}$ 기본형에 따라 존재하는 것이 보장됩니다.

지도 $\varphi\mapsto\hat{\varphi}$ 명확하게 계산할 수 있으므로 $Th_{MSO}(\mathbb{R})$ 원하는대로 순서의 모나드 이론에.