선형지도의 구성이 동형 인 경우

Question

허락하다 $T:V\rightarrow W$ 과 $L:W\rightarrow U$ 유한 차원 사이의 선형 맵 $\mathbb{R}$-벡터 공간. 언제인지 궁금합니다$L\circ T:V\rightarrow U$ 동형입니다.

내 가설은 $L\circ T$ 동형은 다음과 같은 경우에만 $Ker(L)^{\perp} = Im(T)$. (이 말은$Im(L) \cap Ker(L)={0}$).

여기까지 내가 얻은 것이 있습니다. 이 게시물을 통해 우리는$L$ 주입 적이어야하고 (이중 논쟁) 우리는 $T$추측 성이 있어야합니다. 따라서 분할 기본형을 적용합니다 .$W\cong V\oplus U$. 이후$T$ 주입적이고 선형 적입니다. $V\cong Im(T)$. 이제부터$L$ 그렇다면 $Im(T)$ 교차 $\ker(L)$ 사소하지 않게 (즉, $0$) 다음 $Im(L)$ 보다 엄격하게 낮은 차원입니다. $U$; 추측 할 수없는 경우. 따라서,$Im(T)\cap \ker(L)={0}$. 반대 방향은 분명합니다.

내 주장도 유효할까요 $L\circ T$ 단지 주사입니까?

Answer 1

분할 기본형은이 상황에서 적용되지 않습니다. 또한$L \circ T$ bijective $L$ 추측 성이 있어야하고 $T$ 주사제.

다음 설명은 모든 맵 구성에 적용됩니다. $L \circ T$ bijective iff $T$ 주사제이고 $L|_{im T} $bijective입니다. 선형지도를 보면 다음과 같이 변환됩니다.

$L \circ T$ bijective iff $T$ 주사제, $L$ 추측과 $im(T) \cap ker(L) = {0}$