스펙트럼 분해 대 테일러 확장
이 질문과받은 댓글과 답변은 제가이 질문을하도록 장려했지만, 이것이 수학 포럼에 속한다고 생각하는 사람들이있을 것이라는 것을 알고 있습니다. 그러나 저는이 주제가 순수한 수학자보다는 수학적 물리학 자들에게 더 관련이 있다고 생각합니다.
동기 부여 : 이 질문에 대한 답변 중 하나는$f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ 적합한 기능이고 $A\colon\text{Dom}(A)\subset H\to H$적절한 연산자이면 \ begin {equation} f (A) : = \ int _ {\ mathbb C} f \, \ mathrm {d} P_A \ end {equation}을 정의 할 수 있습니다. 여기서$P_A\colon B(\mathbb C)\to B(H)$척도입니다. 그러나 지수 또는 로그의 경우와 같이 수렴 급수 측면에서 정의를 이해하는 것이 훨씬 쉽습니다. (통계 물리학에서$S=k_B\langle\ln\rho\rangle$ 엔트로피입니다. $\rho$는 IS 밀도 연산자 ) 내가 알고 싶은 이유입니다. :
쓰기도 가능합니까? $f(A)$ 수렴 시리즈 측면에서 $f$어떤 지점 에서 테일러 확장 이 있습니까?
대답이 '예'인 경우 적분과 시리즈가 어떻게 동등한 지 비교적 쉽게 확인할 수있는 방법이 있는지 궁금합니다. (내가 아는 한, 적분-심지어$\int_{\mathbb C}f\,\mathrm{d}P_A$ -일부 시리즈의 한계로 표현할 수 있으므로 좋은 출발점이 될 수 있습니다.)
예 : 발현은 {식} \ {sum_는 N = 0} ^ \ infty \ FRAC는 {1} {!}, A는 N ^ n \ 단부 {식} \ 시작 의미한다마다$A$ 완전한 규범 공간의 요소이며 $\mathrm{e}^A=\int_{\mathbb C}\text{exp}\,\mathrm{d}P_A$ 언제 $A$적합한 연산자입니다 ( 소스 ).
그것도 것으로 알려져 \ 시작 {식} \ 좌측 (\ sum_ {K = 1} ^ N (-1) ^ {K + 1} \ FRAC {(A- \ 텍스트 {ID}) ^ K} {K} \ right) _ {N \ in \ mathbb N} \ end {equation} 수렴$\text{ln}(A)$특정 상황 ( here and here 참조 )에서 일반적인 규칙이 있는지 궁금합니다. 즉, \ begin {equation} f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (xb) ^ n, \ end {equation} 이$b$, \ begin {equation} f (A) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (Ab \ cdot \ text {id}) ^ n? \ end {등식}
답변
운영자가 $A$ 속하다 $B(H)$ (Hilbert 공간에서 정의 된 모든 곳의 경계 연산자의 공간 $H$) 정상 : $$A^*A=AA^*$$ 그런 다음 스펙트럼 분해를 인정합니다. $$A = \int_{\mathbb{C}} z dP(z) = \int_{\sigma(A)} z dP(z)$$ 그리고 명백한 표기법으로 $|\sigma(A)| \leq ||A|| <+\infty$.
이 경우 (또한 일반적인 경우 $A$ 무한 (밀집, 폐쇄, 정상)), $$f(A) := \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ 모든 Borel 측정 가능 기능에 대해 $f: \sigma(A) \to \mathbb{C}$. 이 경우 대답은 비교적 쉽습니다.
제안 .
허락하다 $A \in B(H)$ 평범하고 고려하다 $f: \Omega \to \mathbb{C}$ 오픈 세트에 대한 분석 함수 $\Omega \subset \sigma(A) \subset \mathbb{C}$.
만약 $z_0 \in \Omega$ 테일러 확장 $f$ 주위에 $z_0$ $$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$$ 수렴 반경이 있습니다. $R+\epsilon$ 일부 $\epsilon>0$, 그리고 마지막으로 $$\sigma(A) \subset C_R(z_0):= \{ z\in \mathbb{C}\:|\: |z-z_0| <R\}$$ 그때 $$f(A) = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n$$ 오른쪽의 수렴이 표준에있는 곳 $B(H)$.
증거 . 우리는 불평등에서 시작합니다 $$||\int_{\mathbb{C}} g(z) dP(z)|| \leq ||g||_\infty$$ 유효한 경우 $g$Borel 측정 가능하고 제한적입니다. 이 불평등은$A$ 제한되지 않습니다.
우리가 가진 불평등을 악용 $$\left|\left|\int_{\sigma(A)} \left[\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right] dP(z)\right|\right| \leq \sup_{z\in \sigma(A)}\left|\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right| \to 0$$ ...에 대한 $N\to +\infty$테일러 확장의 수렴은 수렴 디스크의 모든 컴팩트에서 균일하기 때문입니다. 그것을주의해라$\sigma(A)$ 실제로 포함 된 컴팩트입니다 $C_{R+\epsilon}(z_0)$.
정의 사용 $g(A)$, 따라서 우리는 $$\int_{\sigma(A)} \sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n dP(z) \to \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ 규범과 관련하여 $B(H)$. 즉,$N\to +\infty$ $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (A-z_0I)^n = f(A)$$ 그 토폴로지에서. 그것이 논문입니다. QED
유사하게 증명 될 수있는 다른 결과가 있습니다. $A$제한 없음 (밀집 정의, 폐쇄 및 일반). 만약 $\psi$ 의 투영 공간에 속합니다 $\int_{E} 1 dP(z)$, 어디 $E \subset C_{R}(z_0)$ 제한된 Borel 세트입니다. $\psi$ 다음의 분석 벡터입니다. $A$) 다음 $$f(A)\psi = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n\psi$$ 현재 수렴이 힐베르트 공간 표준에 있습니다.
더 미세한 결과를 생성하는 것은 어렵습니다.
(참고 자료로 내 책을 인용 할 수 있습니다. https://doi.org/10.1007/978-3-319-70706-8 과 https://doi.org/10.1007/978-3-030-18346-2)