스피너의 정의에 관한 문제
나는 스피너가 무엇인지에 대한 간단한 이해를 구축하려고 노력하고 있으며, 그렇게하면서 두 가지 다른 스피너 정의를 우연히 발견했습니다.
첫 번째 정의 :
If$|\psi\rangle$ 일반적인 스핀 상태 $1/2$ 입자는 다음과 같은 방법으로 분해 될 수 있습니다.
$$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$
어디 $|+\rangle,|-\rangle$ 스핀의 세 번째 구성 요소의 고유 상태입니다 ($S_z$) 및 $c_+,c_-$복소수입니다. 다음과 같이 작성할 수도 있습니다.
$$|\psi\rangle=\begin{pmatrix}c_+ \\ c_-\end{pmatrix}$$
그리고이 형식에서는 일반적으로 $u$ 대신에 $|\psi\rangle$. 입자의 상태를 나타내는 이 2D 벡터 를 spinor 라고 합니다.
두 번째 정의 :
스핀 입자가 주어지면$1/2$ 파동 함수 (어떤 이유로 든)를 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
$$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(\vec{x}) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$이러한 방식으로 쓰여진 입자
의 파동 함수를 spinor 라고 합니다.
나는이 두 정의 사이의 다리를 찾고 있으며 두 번째 문장에서 "어떤 이유로"추악한 것을 제거하는 방법을 찾고있다. 이와 관련하여 : 내 강의 노트에는 다음이 나와 있습니다. $$\psi(\vec{x})=\langle\vec{x}|\psi\rangle=\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle$$ 이 단계는 단순히 ID 연산자의 응용 프로그램이므로 괜찮습니다. $$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$ 그러나 어쨌든 우리가 (1)을 당연하게 여기면 우리는
$$\psi(\vec{x})=\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}c^{1/2}_{l,m}(r)+\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}c^{-1/2}_{l,m}(r)=$$$$=\begin{pmatrix}\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{1/2}_{l,m}(r) \\ \sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{-1/2}_{l,m}(r)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(r , \theta , \phi) \\ \psi_{-1/2}(r , \theta , \phi) \end{pmatrix}$$
이후 $u_{s_z}$ 실제로 스핀 연산자의 고유 상태 인 2D 벡터입니다.
그러나 방정식 (1)에 관한 큰 문제가 있습니다. 왼쪽이 오른쪽과 같다는 것을 어떻게 증명할 수 있는지 모르겠습니다. 왜 거기에$Y(\theta , \phi)$? (어디서$Y$ 물론 구면 고조파이므로 각운동량의 고유 함수) $c^{s_z}_{l,m}(r)$ 그리고 왜 $r$매달린? 나타나는 이유$u_{s_z}$?
답변
첫 번째 방정식 : $$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$ 2 단계 시스템의 모든 순수 상태에 대한 일반적인 형식입니다. 모든 표준 쌍의 공간 ($c_+$, $c_-$)는 Bloch Sphere라고합니다.
2 단계 시스템에 적용되기 때문에 스피너의 물리적 특성을 특히 잘 설명하지 못합니다. 사실, 많은 교육 시나리오에서 혼란을 야기 할 수 있습니다. 이것은 "스핀 업"및 "스핀 다운"이라는 용어 때문입니다. 이것은 초심자가 스핀이 크기와 정렬되거나 반대로 정렬되어 있다고 생각하게 만듭니다.$\frac 1 2$ (단위 : $\hbar$), 그렇지 않다.
스핀 1/2 입자의 각운동량은
$$\sqrt{s(s+1)} = \frac{\sqrt 3} 2$$
고유 상태는 단일 축의 투영 만 알 수 있습니다. $\frac 1 2$. 즉,$S_z$ 고유 상태, 여전히 있습니다 :
$$ S_{x \& y} = \sqrt{s(s+1)-s^2} = \frac 1 {\sqrt 2}$$
균등하게 분포되는 각운동량 단위 $x-y$비행기. 그 사실과 함께 정류 관계 :
$$ [S_i, S_j] = 2i\epsilon_{ijk}S_k$$
모든 축에서 스핀을 양자화하는 능력은 스피너를 이해하는 데 중요합니다.
간단히 말해 계수를 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
$$ c_+ = \cos{\theta/2}e^{-i\phi/2} $$ $$ c_- = \sin{\theta/2}e^{+i\phi/2} $$
그리고 어떤 쌍의 ($\theta,\phi$)는 원래 기반의 중첩을 나타내며, ()를 가리키는 축을 따라 양자화 될 때 순수한 스핀 업 상태입니다.$\theta, \phi$) 방향.
이것이 파동 함수의 스핀 부분입니다. 스핀 파동 함수를 열 벡터 (두 번째 방정식)로 작성하고이를 인수 공간 파동 함수와 결합하면 다음을 얻을 수 있습니다. $$\Psi(\vec{x})=\psi( \vec x)\begin{pmatrix}c_+\\ c_-\end{pmatrix}$$ 그것은 공간파 기능과 얽 히지 않은 스핀을 가진 입자를 나타냅니다. 가장 일반적인 경우에는 공간 및 스핀 구성 요소가 얽힐 수 있으며 세 번째 방정식이 필요합니다.
$$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}( \vec x) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$
이것은 Stern-Gerlach 실험과 같은 시스템에 필요합니다.
파동 함수의 공간적 요소를 하나만 보면 $\psi_+(\vec x)$, 여기에 벡터의 함수로 작성되었습니다. $\vec x$. 이는 데카르트 좌표로 수행 할 수 있습니다.
$$ \psi(\vec x) = \psi(x,y,z)$$
다른 좌표, 또는 각운동량이 보존 될 때 일반적으로 가장 유용한 것은 구면 좌표입니다. 이 경우 각도 부분은 5 번째 방정식의 해당 표준 투영에 따라 구형 고조파로 캡처됩니다.
$$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$
이 방정식에서 볼 수있는 것은 궤도 각운동량 ($(l,m)$) 각 스핀 상태에 커플 링합니다 (일반적인 각운동량 추가 규칙에 따라). 총 각운동량 양자 수의 고유 상태 ($J^2, J_z$) 다른 혼합 $(l, m)$ 스핀 업 및 스핀 다운으로 $c^{\pm}_{lm}$. 이것은 표준 Clebsch-Gordan 항목입니다. 예 :
$$|\frac 3 2 \frac 1 2\rangle = \begin{pmatrix} \sqrt{\frac 2 3}Y_{1,0}(\theta, \phi) \\ \sqrt{\frac 1 3}Y_{1,1}(\theta, \phi)\end{pmatrix}$$
그래서 그것은 총 각운동량 양자 수가 좋은 것처럼 스핀과 각 좌표의 표현과 얽힘입니다.
예를 들어 수소 원자에서 이것을 볼 때 방사형 파동 함수는 완전히 분해됩니다. 그러나 최종 방정식은$c^{\pm}_{lm}(r)$. 이것은 방사형 방향으로 스핀과 공간 좌표 사이에 공간적 얽힘을 유발합니다. (구형 고조파를 사용하는 경우 문제가 구형 좌표에서 분리 될 수 있어야하므로이 문제가 발생하는 시스템을 쉽게 생각할 수 없습니다.) 그럼에도 불구하고, 인 구면 좌표에서 가장 일반적인 스피너 파동 함수.
부록 : $\theta$ 과 $\phi$ (1)의 RHS에 대한 의존성은 다음과 직접 관련이 있습니다. $\vec x$LHS에. 여기에 갈거야$\vec r$ 3D 위치 벡터의 경우 $\vec x$ 혼란을 야기합니다.
데카르트 좌표에서 $(x, y, z)$ 그리고 데카르트 기저 :
$${\bf r} = x{\bf\hat x}+y{\bf\hat y}+z{\bf\hat z} $$
즉, 구형 좌표에서 $(r, \theta, \phi)$ 그리고 데카르트 기저 :
$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi{\bf\hat x}+r\sin\theta\sin\phi{\bf\hat y}+r\cos\theta{\bf\hat z} $$
이제 데카르트 기저 벡터에서 구형 기저 벡터로 전환 할 수 있습니다 (구형 기저 벡터는 z 축을 중심으로 한 3 개의 고유 벡터 회전이며 , 구형 좌표 기저 벡터 가 아닙니다 ($\hat r, \hat\theta, \hat\phi)$, 그것들을 이해하면 스핀, 텐서 연산자 등을 이해하는 데 매우 도움이됩니다.)
$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi\frac 1 {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}+{\bf\hat e^-})+r\sin\theta\sin\phi \frac i {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}-{\bf\hat e^-})+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$
재정렬 할 수 있습니다.
$${\bf r} = \frac 1 {\sqrt 2}r\sin\theta e^{+i\phi}{\bf\hat e^+}+\frac i {\sqrt 2}r\sin\theta e^{-i\phi} {\bf\hat e^-}+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$
각도 계수는 $l=1$ 구형 고조파 :
$${\bf r} = r\sqrt{\frac{4\pi} 3}\big[Y_1^1(\theta,\phi){\bf\hat e^+} + Y_1^0(\theta,\phi){\bf\hat e^0} +Y_1^{-1}(\theta,\phi){\bf\hat e^-} \big ]$$
그 공식은 익숙해지는 데 다소 시간이 걸릴 수 있습니다. 구형 기반에서 구형 고조파 는 좌표입니다. 이상합니다. 함수가 어떻게 좌표가 될 수 있습니까? 글쎄, 봐$Y_1^0(\theta,\phi)$. 단위 영역에, 그것은 이다 $z$. 잘$z$ 함수 (다항식)이므로 $x$ 과 $y$. 그래서 우리는 직선 데카르트 표현에서 다항식 계수를 사용합니다. 우리는 보통 그것들을 그렇게 생각하지 않고, 그것들을 레이블이 붙은 숫자로 생각합니다.