시퀀스의 수렴이 주어지면 시리즈의 수렴 표시
나는 다음을 보여 달라는 문제를 해결하고있다 : 일련의 실수가 주어지면, $(x_n), n=0,1,2,...$ 그런 $x_n \rightarrow x$, 표시 $$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$ 내 접근 방식은 기하학적 시리즈 공식을 증명하는 방법과 비슷한 방식으로 이것을 시도하고 증명하는 것입니다. $(x_n)$일정한 순서였다). 따라서 위 시리즈의 부분 합계를 보면 다음과 같은 것을 알 수 있습니다.$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$ 여기에서 나는 꽤 할 수 없다 $p\rightarrow 1^{-}$그러나 그렇지 않으면 모든 것이 취소됩니다. 그래서 저는$x_n$ 수렴 $x$, 그리고 나는 그 사실을 사용해야 할 것이라고 생각합니다. $x_n \rightarrow x$, $(x_m - x_{m-1})$ 용어가 $0$ 큰 $m$. 그러나 나는 여전히 합의 초기 용어를 처리하는 방법을 모릅니다.$(x_m - x_{m-1})$ 용어는 무시할 수 없습니다.
답변
$\epsilon>0$:
우리는 존재한다는 것을 보여주고 싶습니다 $\delta$ 어떤 경우 $p\in\left(1-\delta,1\right)$ 그때 $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$. 우리는 x_n이 x로 수렴한다는 것을 알고 있으므로 모든 n> N에 대해 다음과 같은 N이 존재합니다.$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$. 또한 다음 사항도 알고 있습니다.$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$. 두 번째 부분을 살펴 보겠습니다.$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$
그래서 우리는 : $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$
그러나 1에 충분히 가까운 p의 경우 첫 번째 부분은 0이되고 두 번째 부분은 x에서 엡실론을 뺀 값이됩니다. 따라서 올바른 델타에 필요한 하한을 표시 할 수 있습니다. 상한선은 매우 유사한 방식으로 표시 될 수 있습니다.
이해할 수 있기를 바랍니다