시리즈입니다 $\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{n}{n^3+1}$수렴 또는 발산? [복제]

Question

시리즈입니다 $$\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{n}{n^3+1}$$ 수렴 또는 발산?

내 대답은 다음과 같습니다. 누구든지 그것이 맞는지 말해 줄 수 있습니까?

이후 $$0<\frac{n}{n^3+1}<\frac{1}{n^2}\;\;,\;\;\;\;\forall n\in\mathbb{N}$$ 그리고 시리즈 $$\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$$ 수렴,

비교 테스트를 적용하면 시리즈가 $$\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{n}{n^3+1}$$ 수렴도 있습니다.

Answer 1

네, 정답입니다.

시리즈의 모든 항이 양수이고 시리즈의 모든 항이 $\frac{1}{n^2}$ (에 대한 $n\in\mathbb N$).
이후$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$ 수렴하고 계열의 모든 항 (따라서 계열의 모든 부분 합계)이 항상 해당 계열보다 작습니다. 비교 테스트를 통해 결론을 내릴 수 있습니다. $\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^3+1}$ 또한 수렴합니다.

Answer 2

그런 상황에서 간단한 방법을 추가하겠습니다. 긍정적 인 일반 회원이있는 시리즈가 있다면 $a_n, b_n$ 과 $a_n \sim b_n$ 언제 $n \to \infty$, 시리즈는 동시에 수렴 및 발산합니다. 귀하의 경우$$\frac{n}{n^3+1} \sim \frac{1}{n^2}$$