실수 정규직 교 행렬의 열 합계 구조

Dec 01 2020

정사각형 실수 직교 행렬이 있다고 가정합니다. $A \in O(D)$. 열 합계 집합에 어떤 구조가 있는지 이해하고 싶습니다.$A$.

예를 들어 $O(2)$단일 스칼라로 매개 변수화 할 수 있습니다. 이유를 확인하려면$A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$. 첫 번째 열에는 단위 표준이 있어야하므로$c = \sqrt{1 - a^2}$. 두 번째 열은 첫 번째 열과 직교해야하며 단위 표준도 가져야하므로$b = -c$$d = a$. 따라서,$A = \begin{bmatrix} a & -\sqrt{1 - a^2}\\ \sqrt{1 - a^2} & a \end{bmatrix}$ 열 합계는 $a + \sqrt{1 - a^2}$$a - \sqrt{1 - a^2}$. 열 합계를 함수로 플로팅 할 때$a$, 나는 다음과 같은 멋진 곡선을 관찰합니다.

제 질문은이 구조가 어떻게 일반화됩니까? $O(D)$? 일부 수량이 절약됩니까? 열 합계를 내림차순으로 정렬하면 둘 사이의 관계가 유지됩니까?

아마도 내가 원하는 것은 "이전 열의 합계가 $A, B, C,...$ 다음 열의 합계는 다음과 같습니다. $Z$ / 경계 $[-X, Y]$"

답변

1 JackM Dec 01 2020 at 18:17

가능한 모든 열 합계 벡터의 집합 알면 구형 것은 본질적으로 같은 벡터에 대해 질문 할 수있는 모든 가능한 질문에 대한 답변. 구체적으로 다음과 같습니다.

허락하다 $S(n)$ 직교 행렬의 열-합-벡터 집합 $O(n)$. 그때$S(n)$ 반지름 구와 같습니다. $\sqrt n$ 원점을 중심으로.

댓글에서 :

그 이상으로 말할 수 있습니까? 벡터는 직교 법칙이므로 하나 (또는 ​​여러 개)를 고정하면 구의 나머지 점을 선택할 수있는 점이 심각하게 제한됩니다.

벡터가 직교한다는 가설을 도입하면 더 강력한 결과를 얻을 수 없습니다. 그 가설은 모든 열-합-벡터 집합이 구라는 정리에 포함되어 있기 때문입니다. 그렇습니다. 하나 또는 여러 좌표를 고정하면 다른 좌표가 제한되지만 결과 점이 구에서 끝나도록 선택해야한다는 점에서 정확하게 제한됩니다. 더 이상의 제한을 시도 할 필요가 없습니다.$S(n)$이다 동일 하지 않은 그것의 일부, 그리고 그것의 상위 있지만, 동일 - 구에. 따라서 제한은 최대한 엄격합니다.

예를 들면 :

  1. 매개 변수화 할 수 있습니다. $S(n)$, 구의 표준 매개 변수화를 사용합니다 .

  2. 예, 첫 번째 문제를 해결하면 $k$좌표, 이것은 전체 벡터가 구에서 끝나야하기 때문에 나머지 좌표를 제한합니다. 특히 나머지 좌표는$a_{k+1}, ..., a_n$ 선택해야합니다 $$a_{k+1}^2+...+a_n^2=n-(a_1^2+...+a_k^2)$$ 즉, $r^2=a_1^2+...+a_k^2$, 나머지 좌표는 반경 구에서 선택해야합니다. $\sqrt{n-r^2}$$(n-k)$차원 공간.