신호 미분과 주파수 스펙트럼의 관계
나는 물리적 제약에 의해 제한되는 것을 알고있는 미분 신호를 샘플링하고 싶습니다. 샘플링은 가우시안 노이즈에 의해 방해 받으므로 저역 통과 필터로 샘플을 필터링해야합니다.
미분 크기의 경계를 정확히 알고 있기 때문에 필터의 차단 주파수를 결정하기 위해이 경계를 주파수 경계로 변환하는 방법이 있는지 궁금합니다.
내 직관적 인 아이디어는 저주파가 샘플의 "부드러운"부분 (즉, 경계와 호환되는 파생물이있는 부분, 신호)을 구성하는 반면, 더 높은 주파수는 샘플의 갑작스런 변화를 담당한다는 것입니다 ( 즉, 경계를 초과하는 경사가있는 부분, 소음; 그래서 미분과 샘플의 주파수 성분 사이에 관계가 있어야한다고 생각합니다. 저는이 개념을 공식화하는 것을 찾고 있습니다. 감사!
답변
질문을 형식화하는 방법에 따라 많이 달라집니다. 가능한 한 가지 접근 방식이 있습니다. 신호가 모든 기능이 될 수 있다고 가정 해 봅시다.$\mathbb Z$ 미분은 $1$ 소음에는 표준 편차가 있습니다. $\sigma$다른 샘플에서의 값은 독립적입니다. 선형 필터를 적용하고$L^2$최악의 시나리오에서 장기간에 걸친 오류의 규범 . 이 필터는 무엇이어야합니까?
평소와 같이 모든 것을 푸리에 변환하면 문제가 함수를 찾는 것으로 줄어든다는 것을 알 수 있습니다. $\varphi$ 최소화하는 단위 측정으로 원에 $\sigma^2\int|\varphi|^2+\sup_{a}\frac 1N\int{|1-\varphi|^2\left|\sum_{k=1}^N a_k z^k\right|^2}$ 어디 $a_k$ 임의의 실수 시퀀스입니다. $|a_{k+1}-a_k|\le 1$ 과 $a_0=a_{N+1}=0$ ($N$신호의 지속 시간입니다). 이러한 합계는$\frac{1}{1-z}\sum_{k=0}^N b_kz^k$ 어디 $|b_k|\le 1$ 과 $\sum_k b_k=0$. 이것은 우리에게 최고를 찾는 문제를 가져옵니다.$\frac 1N\int\psi^2\left|\sum_{k=1}^N b_k z^k\right|^2$ 주어진 $\psi=\frac{1-\varphi}{|1-z|}$.
물론이 상한선은 $\sup\psi^2$그러나 실제 계수 대신 복잡한 계수를 허용하면 원하는 어느 지점에서든 델타 측정 값을 근사화 할 수 있기 때문에 그보다 훨씬 적지 않습니다. 따라서 우리가 다음과 같은 요인에 대해 너무 신경 쓰지 않는다면$2$, 다음과 같이 문제를 다시 설명 할 수 있습니다.
최소화 $\sigma^2\int(1-M|1-z|)_+^2+M^2$. 우리가 선의 연속적인 경우에 전달하면 (충분히 자주 샘플링하면 적절한 근사치를 만들 수 있으므로이 정규화에서$\sigma\gg 1$) 그리고 푸리에 변환이 다음과 같다고 가정합니다. $\widehat f(\omega)=\int f(t)e^{-2\pi i \omega t}$ (그래서 $L^2$ 규범은 보존됩니다. $z=e^{2\pi i \omega}$), 우리는 $\sigma^2\int(1-2\pi M|\omega|)_+^2+M^2=\frac{\sigma^2}{3\pi M}+M^2$, 최소값은 $M=\sqrt[3]{\frac{\sigma^2}{6\pi}}$. 따라서이 관점에서 최적의 필터는$e^{2\pi i\omega t}$ ...에 대한 $|\omega|\le \omega_0=\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi^2\sigma^2}}$ 주파수 증폭의 선형 감소 $0$ (확대 $1$) 주파수 $\pm\omega_0$ (확대 $0$).
이제 스케일링에 대해. 시간 간격으로 샘플링한다고 가정합니다.$\tau$, 시간 미분은 $D$ 각 샘플의 노이즈 표준 편차는 $\Sigma$. 그때$\sigma=\frac{\Sigma}{D\tau}$ 그리고 최종 답변은 $\Omega_0=\omega_0/\tau=\sqrt[3]{\frac{3 D^2}{4\pi^2 \Sigma^2\tau}}$.
평균 제곱 오차를 최소화하기위한 목적 으로 미분 과 관련된 유일한 제한 하에서 최악의 시나리오 최적화 임을 다시 한 번 주목하십시오 . 신호에 더 많은 제한이 있거나 (예 : 미분 경계에 더하여 일부 진폭 경계) "일반 신호"(정의해야 함)를 최적화하고 이상 값에 대해별로 신경 쓰지 않거나 선호하는 경우 목표가 다르면 대답이 바뀔 수 있습니다. 또한 내 논리가 정확하다고 생각하지만 자정 이후에는 대수학에서 악명이 높으므로 최종 답을 적용하기 전에 관련된 숫자를 확인하십시오.