쐐기 제품 내부의 외부 차동 / 파생 이동
가정 : Let$M$ 부드럽다 $m$-다양성. (필요한 경우 : Let$M$방향을 잡을 수 있고 방향이 있습니다. 허락하다$M$간결하다. 허락하다$(M,g)$ 리만 매니 폴드 여야합니다.)
허락하다 $\Omega^jM$ 부드럽다 $k$-양식 $M$, for $j=0, 1, ..., m$. 허락하다$d_j: \Omega^jM \to \Omega^{j+1}M$ 외부 미분 / 미분 $\Omega^jM$ (기준 $d: \Omega(M) \to \Omega(M)$,와 함께 $\Omega(M)$ $:= \bigoplus_{j=0}^{m} \Omega^jM$).
허락하다 $k \in \{0, 1, ..., m\}$. 허락하다$(\alpha, \gamma) \in \Omega^kM \times \Omega^{m-(k+1)}M$.
관찰 :
- $d_k \alpha \wedge \gamma$ 매끄러운 상단 형태 (일명 매끄러운 $m$-형태)
- $(-1)^{1+k^2} \alpha \wedge d_{m-(k+1)}\gamma$ 매끄러운 상단 형태 (일명 매끄러운 $m$-형태)
질문 1 : 위의 관찰이 정확하다고 가정하면 동일합니까?
질문 2 : 일반적으로 쐐기 제품을 통해 외부 미분 / 미분을 이동하고$(-1)^{\text{something}}$?
질문 3 : 위의 내용에서 우리는$M$ 방향성 / 지향성 / 콤팩트 / 리만 식처럼?
질문 4 : 질문 1에 '아니요'인 경우 두 형식 각각이 적어도 동일한 적분을 갖도록하세요. 즉, 각각을 연결할 때 얻는 값입니다.$\int_M$같다? 여기에서 우리는 이제$M$ 방향을 잡을 수 있고 방향이 잡히고 컴팩트하다고 생각합니다 (그렇지 않으면 양식에 컴팩트 지원 또는 무언가가 있다고 가정해야한다고 생각합니다).
컨텍스트 : 이것은 Hodge 별 연산자의 정의를 포함하여 Hodge 분해 정리로 이어지는 몇 가지 정의와 제안에서 비롯되었지만 Hodge가 아닌 부분을 올바르게 이해하는지 확인하려고합니다. ($\gamma$ 실제로 일부 이미지입니다 $\beta \in \Omega^{k+1}M$ Hodge-star 연산자 아래.)
답변
여기에 대답의 시도가 있습니다.
질문 1 그런 평등은 필요 없습니다. 사실은$$ d\left(\alpha\wedge \gamma \right) = d\alpha \wedge \gamma + (-1)^{\deg\alpha}\alpha \wedge d\gamma $$
그리고 당신의 평등이 사실이라고 가정하면 $d(\alpha\wedge\gamma)$
다음은 구체적인 반례입니다. \begin{align} \alpha &= dx^1 & \gamma = x^2dx^3\wedge\cdots\wedge dx^n \\ d\alpha \wedge \gamma &= 0 & \alpha \wedge d\gamma = dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \end{align}
질문 2 대답은 아니오입니다. 위 참조.
위의 질문 3 에서 계산은 로컬이므로 간결함이나 방향성에 의존하지 않습니다. 반례를 차트 외부에서 0으로 확장합니다.
질문 4 대답은 여전히 아니오입니다. 위의 반례에서,$d\alpha\wedge \gamma = 0$따라서 적분은 0이지만 $\alpha\wedge d\gamma$ 방향이 가능한 매니 폴드의 체적 형태이며 0이 아닌 적분을가집니다.
@JanBohr의 답변 (두 개의 자기 반성 답변으로 이어짐)과 관련하여 나는 경우에 추가해야합니다 $M$ 스토크 스 정리에 따르면 $$ \int_M d(\alpha\wedge \gamma) = \int_{\partial M} \alpha\wedge \beta $$ 따라서, $$ \int_M d\alpha \wedge \gamma = (-1)^{\deg \alpha+1}\int_{M}\alpha\wedge d\gamma + \int_{\partial M}\alpha\wedge \gamma $$ 따라서 (서명까지) 평등이 $M$ 경계가 없거나 $\alpha\wedge \gamma$ 에 제로 $\partial M$.
외부 미분의 정의 속성 중 하나는 라이프니츠 규칙입니다. $$d(\alpha\wedge \gamma)=d\alpha\wedge \gamma+(-1)^{k} \alpha\wedge d\gamma,$$ 어디 $k$ 정도입니다 $\alpha$, 예를 들어 wikipedia를 참조하십시오 . 이는 임의의 부드러운 매니 폴드에 적용되며 리만 메트릭 또는 방향이 필요하지 않습니다. 같이$k$ 과 $k^2$ 동일한 패리티를 가지고, 이전 디스플레이의 오른쪽은 정확히 두 사람의 차이입니다. $m$-양식. 특히 그들은 동등하다$\alpha \wedge \gamma$닫힙니다. 둘 다에 대한 적분$m$-형태, 말하면 $M$ 스토크 스 정리에 의해 정확한 형태의 적분이 0이기 때문에 똑같습니다.
질문 4에 대한 @DIdier_의 반례에 관하여 : 이것은 스톡스 정리의 경계 적분이 사라지지 않는 상황입니다. $\mathbb{R}^n$). 위에서 나는 가정 하여이 문제를 피합니다.$M$경계가 없습니다. 또 다른 방법은$\alpha $ 과 $\gamma$ 내부를 컴팩트하게 지원합니다.