수렴 증명 $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$ [복제]

Nov 26 2020

$a_1=1.$ $a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}}$

시퀀스가 수렴 함을 증명하십시오.

이 시퀀스의 수렴을 증명하려고하는데 문제가 있습니다. 처음에는 이것이 모노톤 시퀀스라고 생각했는데 그 이후로 모노톤 수렴 정리를 시도하여 수렴을 증명할 수 있습니다.

그러나 몇 가지 용어를 확인한 후 시퀀스가 ​​진동하는 것처럼 보였습니다. 그래서이 시퀀스의 수렴을 증명하는 방법을 잘 모르겠습니다.

감사.

답변

1 phy_math Nov 26 2020 at 13:59

이 시퀀스는 코시 시퀀스이므로 수렴합니다.

먼저 $a_n>0, \forall n \in \mathbb{N}$재귀 관계에서. [$a_1=1$$a_{n+1}$ 추가 된 긍정적 인 용어로 정의 됨]

두 번째 이후 $a_n>0$ 그러므로 $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{1+a_n} \leq 2 $

이제 고려하십시오 \begin{align} |a_{n+1} - a_n| = \left| \frac{1}{1+a_n} - \frac{1}{1+a_{n-1}} \right| = \frac{|a_n - a_{n-1}|}{(1+a_n)(1+a_{n-1})} \leq \frac{1}{4} | a_n - a_{n -1}| \end{align}그리고 이것은 조심스러운 순서입니다. [이 형식의 시리즈를 계약이라고하며, 동일한 절차를 반복적으로 적용한 후 계속해서$|a_2-a_1|$, 그리고 Squeeze 정리를 통해 쉽게 추측 할 수 있습니다. $a_n$ 코시 시퀀스입니다]

$\mathbb{R}$코키 시퀀스는 수렴을 의미하므로 수렴합니다. 그런 다음 한계를$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \alpha$ 우리는 $\alpha^2 = 2$ 그리고 $a_n>0$, $\alpha = \sqrt{2}$.

1 DanielWainfleet Nov 26 2020 at 16:32

진동 시퀀스에 종종 유용한 방법 : Let $b_n=|(a_n)^2-2|.$ 그때 $$0\le b_{n+1}=\frac {b_n}{(1+a_n)^2}\le \frac {b_n}{4} $$ 때문에 $1+a_n\ge 2$ 귀납에 의해 $n$.

그래서 $b_n$ 감소 $0$. 그래서$(a_n)^2\to 2$ 각각 $a_n>0.$

"에 대한 동기$2$"의 정의에서 $b_n$ 그것이 IF인가 $a_n$ 한계에 수렴하다 $L$ 그때 $L=\lim_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim_{n\to \infty} 1+\frac {1}{1+a_n}=1+\frac {1}{1+L},$ 암시 $L^2=2.$