$ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin^2 (kx)}{k}$ 과 $ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos^2 (kx)}{k}$
Aug 19 2020
시리즈를 살펴 보자 $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\sin^2 (kx)}{k}$ 과 $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\cos^2 (kx)}{k}$
내 시도 :
$\forall t , ~ \cos^2(t) + \sin^2(t) =1$ 과 $\sum\limits_{k \ge 1} \dfrac{1}{k} =\infty$.
두 항이 양수이므로 계열 중 하나 이상이 발산해야합니다.
두 시리즈가 서로 다르다는 것을 증명하는 방법은 무엇입니까?
힌트에서 주어진 것처럼 $\cos^2(kx)= 1 + 2 \cos(2kx)$
답변
1 MarkViola Aug 18 2020 at 22:33
힌트:
두 시리즈 모두 갈라집니다. 이것을 보여주기 위해 신원을 사용하십시오.
$$\begin{align} \sin^2(x)&=\frac{1-\cos(2x)}{2}\\\\ \cos^2(x)&=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align}$$
사실과 함께 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{n}$ 수렴 $x\ne m\pi$, $m\in \mathbb{Z}$, Dirichlet의 테스트에 의해 보장됩니다 .