순서를합니까 $\{f_n\}$ 수렴하다 $L^1$?

Question

기능 순서 고려 $f_n\in L^1(\Bbb R)$ 정의 $f_n(x)=n\chi_{(0,1/n)}(x)$ ...에 대한 $x\in\Bbb R$. 순서를합니까$\{f_n\}$ 수렴하다 $L^1$?

시도. 나는 그렇지 않다고 생각한다. 함수가 있다고 가정합니다.$g\in L^1(\Bbb R)$ 그런 $f_n\to g$ 에 $L^1$. 그런 다음 Minkowski 불평등에 의해 우리는$$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1\geq \lim_{n\to\infty}|\|f_n\|_1-\|g\|_1|=\lim_{n\to\infty}|1-\|g\|_1|=1-\|g\|_1$$ 그것을 의미 $\|g\|_1\geq 1.$ 반면에 $$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1=\lim_{n\to\infty}\int_{\Bbb R}|f_n(x)-g(x)|dx.$$여기서는 Lebesgue Dominated Convergence Theorem을 사용할 수 있을지 확신이 없습니다. 그렇다면 우리는$\|g\|_1=0$, 모순. 또한$f_n$0 점 함수로 수렴합니다. 감사!

Answer 1

간단한 대답 : 수렴하면 0 함수로만 수렴 할 수 있습니다. 이것은 수렴이$L^{1}$ 하위 시퀀스에 대한 ae 수렴을 의미하며 점별 한계는 다음과 같습니다. $0$. 지금$\int |f_n-0|=1$ 그래서 $(f_n)$ 수렴하지 않습니다 $L^{1}$.