숫자 연산자와 생성 및 소멸 연산자의 지수 해제

Question

숫자, 소멸 및 생성 연산자의 합의 지수를 풀 수있는 방법이 있습니까? 예를 들면

$$e^{\alpha N + \beta a + \gamma a^\dagger } = e^{G a^\dagger}e^{A N}e^{B a}$$

어디 $G$, $A$, 및 $B$ 세 가지 매개 변수 모두의 각 기능 $\alpha$, $\beta$, 및 $\gamma$.

Answer 1

대답은 아니지만 기본적으로 건전한 접근 방식에 대한 확장 된 설명입니다. 주석 형식은 그러한 확장 된 주석을 허용하지 않기 때문입니다. 관련된 그룹은 오실레이터 그룹 이고, 발견 한 3d rep은 충실한 것이므로, 그것에 대한 모든 그룹 관계는 일반적으로 추상 그룹에 대해서도 유지되므로 모든 표현 ! 나는 당신의 대답 Z 의 중심 요소 C 라고 부를 것입니다 . 그리고 그것은 모든 표현을 걸러내어 모든 것으로 통근 할 수 있습니다.

Lie의 정리에 의해 뒷받침되는 일반적인 진술 은 모든 그룹 요소의 곱이 Lie 대수에서 모든 생성기의 일부 선형 조합의 지수에 가까울 것이라는 것입니다 .$$ 𝑒^{𝜃Z} 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙'Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}. $$그러나 Z 는 모든 것과 통근하기 때문에 lhs의 첫 번째 요소를 오른쪽으로 반전하여 새 매개 변수에 통합 할 수 있습니다.$\phi'-\theta=\phi$, 그래서 $$ 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}, \tag{*} $$ 어디 매개 변수 $\phi,\alpha,\beta, \gamma$ 의 기능이 보장됩니다 $G,A,B$.

이제 처음 세 개의 생성기의 무능함과 네 번째 생성기의 대각선으로 lhside는 다음과 같이 평가됩니다. $$ e^{-A/2} \begin{bmatrix}e^A & G & BG\\0 &1 &B\\0 &0 &e^A\end{bmatrix}, $$ 결정자와 함께 $e^{A/2}$.

이것은 동일해야합니다 $$ \exp \begin{bmatrix} \alpha/2 & \gamma & -\phi\\0 &-\alpha/2 &\beta\\0 &0 &\alpha/2\end{bmatrix}. $$ 결정자는 $e^{\alpha/2}$ 정체로 $e^{\operatorname{Tr} M} = \det e^M$.

이제 매개 변수의 두 번째 순서로 확장됩니다. $$ \begin{bmatrix}1+ \alpha/2 +\alpha^2/8& \gamma & -\phi-\phi\alpha/2+\beta\gamma/2\\0 &1-\alpha/2 +\alpha^2/8&\beta\\0 &0 &1+\alpha/2+\alpha^2/8\end{bmatrix}. $$

위의 lhside와 비교하면 두 번째 순서로, $$A=\alpha, \qquad B=\beta e^{\alpha/2}, \qquad G=\gamma e^{\alpha/2},$$ 그러나 가장 오른쪽 상단 항목이 일치하지 않으며 사라지지 않는 $\phi$, $$ BGe^{-A/2}= \beta\gamma e^{\alpha/2}= \beta\gamma/2 -\phi(1+\alpha/2), $$느슨 함을 잡으려고. 하나는 적어도 하나의 정류가 필요하기 때문에 이것을 보려면 두 번째 순서로 가야했습니다.$[a,a^\dagger]$ 중심 요소를 생성합니다.

그럼, $\phi$수정 된 표현 (*)에서 실제로 필수적입니다. 이것은 생략 할 수있는 자유도가 아닙니다. 댓글을 짧게 작성할 시간이 부족한 점에 대해 사과드립니다 (Pascal 포함).

Answer 2

이 두 가지 질문에 대한 답변을 사용하는 방법을 찾은 것 같습니다.

https://mathoverflow.net/questions/163172/lie-group-about-the-quantum-harmonic-oscillator

지수 연산자의 얽힘 해제 및 재정렬은 어떻게 작동합니까?

다음 행렬을 래더 연산자에 매핑 할 수 있습니다.

$a^\dagger\equiv A=\left[\matrix{0 & 1 & 0\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $a \equiv B=\left[\matrix{0 & 0 & 0\\0 &0 &1\\0 &0 &0}\right]$, $I\equiv C=\left[\matrix{0 & 0 & -1\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $N\equiv D= \frac12\left[\matrix{1 & 0 & 0\\0 &-1 &0\\0 &0 &1}\right]$

행렬 A, B, C, D는 래더 연산자의 정류 관계를 충족합니다. 그런 다음이 행렬과 일치 계수를 사용하여 왼쪽과 오른쪽을 평가합니다. 작동하는 것 같지만 거짓말 대수에 대한 경험이 없기 때문에 이것이 올바른 접근 방식이라는 것을 확인하고 싶습니다.