숫자의 평균을 구하십시오 $n \sin n^\circ$ ...에 대한 $n=2,4,6\cdots,180$ [복제]

Question

시험에서 평균 수치를 구하라는 요청을 받았습니다. $$n \sin n^\circ$$ ...에 대한 $n$=$2,4,6,\cdots,180$

나는 기본적으로 합계 제품으로 많은 것을 시도했거나 입력을 페어링했지만 결국에는 해결할 방법을 찾을 수 없습니다. 누군가가 접근 방식으로 나를 도울 수 있습니까?

Answer 1

이후 $\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)$, $\sin{90^\circ} = 1$, 및 $\sin{180^\circ} = 0$, 우리는 합계를 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $$ (2 \sin{2^\circ} + 178 \sin{2^\circ}) + (4 \sin{4^\circ} + 176 \sin{4^\circ}) + \ldots + (88 \sin{88^\circ} + 92 \sin{88^\circ}) + 90\text. $$

평균을 구하려면 용어 수로 나누고 $90$, 그리고 얻다 $$ 2 \sin{2^\circ} + 2 \sin{4^\circ} + \ldots + 2 \sin{88^\circ} + 1\text.\tag{*} $$

지금, $\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ) = 2 \sin\theta \sin 1^\circ$. 따라서,$$ 2\sin\theta = \frac{\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ)}{\sin{1^\circ}}\text.\tag{**} $$

플러그를 꽂을 때 $\text{(**)}$ 으로 $\text{(*)}$, 대부분 $\cos$ 조건이 취소되고 $$ \frac{\cos{1^\circ} - \cos{89^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \frac{\cos{1^\circ} - \sin{1^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \color{red}{\cot{1^\circ}}\text. $$

Answer 2

\begin{align} \sum_{r=1}^{90}2r\sin\left(\dfrac{2r\pi}{180}\right)&=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+2\sum_{r=1}^{45}(90-r)\sin\left(\pi-\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+180\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)-2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=180\times\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right) \end{align} 이제 AP 공식의 사인 합을 적용하면 완료됩니다!