Symplectomorphisms는 Hamiltonian 방정식을 유지합니다.
허락하다$(M_1,\omega_1)$,$(M_2,\omega_2)$단순 다양체로 하고$\psi:(M_1,\omega_1)\rightarrow (M_2,\omega_2)$단순형이 된다. 해밀턴을 생각하다$H\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$. 곡선을 보여라$t\mapsto \gamma(t)\in M_1$에 대한 해밀턴 방정식을 풉니다.$\tilde{H}:=H\circ\psi$ $\iff$곡선$t\mapsto \psi\circ\gamma(t)\in M_2$를 위해 그들을 해결합니다$H$.
라는 사실의 귀결로 얻어진다면 좋을 것이다.$X_{H\circ\psi}=\psi^*(X_H)$.
감사합니다
답변
내 시도.
제안 1
하자$(M_1,\omega_1)$,$(M_2,\omega_2)$단순 다양체로 하고$\psi:(M_1,\omega_1)\rightarrow (M_2,\omega_2)$단순형이 된다. 게다가 하자$H\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$Hamiltonian 벡터 필드가 있는 Hamiltonian이 되십시오.$X_H\in\Gamma(TM_2)$.
그 다음에$\psi^*(X_H)$는 해밀턴 벡터 필드 wrt 해밀턴입니다.$\tilde{H}:=H\circ\psi\in\mathcal{C}^\infty(M_1)$, 즉 \begin{방정식} \label{ciao} X_{H\circ\psi}=\psi^*(X_H). \end{방정식}
증명 \begin{방정식*} d(H\circ\psi)=d(\psi^*H)=\psi^*dH=-\psi^*\left(i_{X_H}\omega_2\right)=- i_{\psi^*X_H}\psi^*\omega_2=-i_{\psi^*X_H}\omega_1, \end{방정식*} 그래서$\psi^*X_H$는 고유한 해밀턴 벡터 필드 wrt입니다.$H\circ\psi$.
결론 1
$X_{H\circ\psi}$그리고$X_H$~이다$\psi$-관련된
우리는 명제
1의 결론을 명시할 수 있습니다.$\forall p\in M_1$,$\forall h\in\mathcal{C}^\infty(M_1)$ \begin{방정식} \label{확장 상관 해밀턴 벡터 필드} (X_{H\circ\psi})_p(h)=(\psi^*X_H)_p(h)=:(X_H)_{\psi( p)}(h\circ\psi^{-1}), \end{equation} 여기서 우리는 diffeomorphisms를 통해 벡터 필드의 풀백을 개발했습니다. 이제 아무거나 가져가$p\in M_1$그리고$g\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$, 다음 \begin{방정식} \label{첫 번째 관련 벡터 필드} \left[T_p\psi((X_{H\circ\psi})_p)\right](g)=(X_{H\circ\psi} )_p(g\circ\psi); \end{equation} 다음으로 첫 번째 방정식을 적용합니다.$h:=g\circ \psi$, \begin{equation*} \left[T_p\psi((X_{H\circ\psi})_p)\right](g)=(X_H)_{\psi(p)}(g\ circ\psi\circ\psi^{-1})=(X_H)_{\psi(p)}(g). \end{equation*} 이것은 모든$g\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$, \begin{방정식*} \left[T_p\psi((X_{H\circ\psi})_p)\right]=(X_H)_{\psi(p)}(g\circ\psi \circ\psi^{-1})=(X_H)_{\psi(p)}, \end{equation*} 정확히 의미$X_{H\circ\psi}$그리고$X_H$~이다$\psi$-관련된.
제안 2
하자$F:M\rightarrow N$매니폴드 사이의 매끄러운 맵이 되며 다음을 가정합니다.$X\in\Gamma(TM)$,$Y\in\Gamma(TN)$~이다$F$- 관련 벡터 필드. 그 다음에$F$의 적분 곡선을 취합니다.$X$의 적분 곡선에$Y$.
증명
하자$\gamma:\mathcal{I}\rightarrow M$의 적분 곡선이 되다$X$, 우리는 그것을 보여야합니다$\sigma:=F\circ\gamma$의 적분 곡선이다.$Y$: \begin{방정식*} \dot{\sigma}(t)=\frac{d}{dt}(F\circ\gamma)(t)=T_{\gamma(t)}F(\dot{\ 감마}(t))=T_{\감마(t)}F(X_{\감마(t)})=Y_{F(\감마(t))}=Y_{\시그마(t)}. \end{방정식*}
결론
Symplectomorphisms는 Hamilton의 방정식을 유지합니다.
증명
하자$\psi$symmplectomorphism인 경우 추론 1 덕분에 Hamiltonian 벡터 필드가$X_{H\circ\psi}$그리고$X_H$를 통해 관련되어 있습니다$\psi$. 또한 제안 2에 의해,$\psi$적분 곡선을 적분 곡선에 매핑합니다.$\psi$-관련 일반 벡터 필드. 그러나 해밀턴 벡터장의 적분 곡선은 해밀턴 방정식의 해이므로$\psi$해밀턴 방정식을 유지합니다.
Abraham-Marsden을 출처로 언급했기 때문에 여기에 도움이 될 것이라고 생각하는 몇 가지 의견이 있습니다(표기법은 사용 방법과 매우 동일합니다). 다음은 "포인트별 수준"이 아닌 "매핑 수준"에 있는 보다 "간소화된 접근 방식"(최소한 제 생각에는)입니다.
나는 당신이 제안 1의 결론이 다음과 같이 쓰여질 수 있다는 것을 깨닫기를 바랍니다.$\psi^*(X_H) = X_{\psi^*H}$, 물론 매우 기억에 남습니다. 마찬가지로 교체하여$\psi$~에 의해$\psi^{-1}$, 그리고 그 사실을 이용하여$(\psi)_*:= (\psi^{-1})^*$(즉, 푸시-포워드는 (정의에 따라) 역에 의한 풀백과 동일), 우리는 다음을 얻습니다.$\psi_*(X_H) = X_{(\psi_*H)}$(물론 모든 것이 정의된 위치를 재정의해야 함)
만약$F:M \to N$그리고$X$그리고$Y$벡터 필드가 켜져 있습니다$M$그리고$N$각각, 우리는 말한다$X$그리고$Y$~이다$F$-관련된 경우$TF \circ X = Y \circ F$, 그리고 우리는 씁니다$X\sim_F Y$; 즉 다음 다이어그램은 통근합니다.$\require{AMScd}$ \begin{CD} TM @>TF>> TN\\ @A{X}AA @AA{Y}A \\ M @>>F> N \end{CD} 마지막으로, 풀백의 정의를 기억하십시오. 벡터 필드의 (이것은$F$디피오모피즘):$F^*(Y):= TF^{-1}\circ Y \circ F$(그리고 참고하세요$T(F^{-1}) = (TF)^{-1}$, 그래서 단순히 쓰기$TF^{-1}$모호하지 않음). 이를 통해 추론 1은 간단하게 증명할 수 있습니다. \begin{align} T\psi \circ X_{\psi^*H} &= T\psi \circ (\psi^*X_H) \tag{명제에 의해$1$} \\ &= T\psi \circ (T\psi^{-1}\circ X_H \circ \psi) \tag{정의에 따라} \\ &= X_H \circ \psi \end{align} 이것은 정확히 말합니다 저것$X_{\psi^*H} \sim_{\psi}X_H$두 벡터 필드는$\psi$-관련된.
Proposition의 증명을 다시 쓸 수 있습니다.$2$\begin{align} ( F\circ \gamma)' &= TF \circ \gamma' \\ &= TF \circ (X\circ \gamma) \\ &= (Y\circ F) \circ \감마 \태그{이후$X\sim_F Y$} \\ &= Y \circ (F\circ \gamma) \end{align} 이것은 정확히 다음을 의미합니다$F\circ \gamma$의 적분 곡선이다.$Y$. 여기에서 내가 사용하는$\gamma'$당신이 사용하는 곳$\dot{\gamma}$; 이것은 접선 묶음의 곡선입니다.$I\subset \Bbb{R}\to TM$