타원에만 이러한 속성이 있습니까?
두 개의 평행선이 타원에 접합니다. 이 두 선 사이에서이 두 선에 평행 한 모든 선은 두 점에서 타원과 교차합니다.
이 두 점 사이의 정확한 중간 점은 두 접선 점을 연결하는 선에 정확히 놓여 있습니다.
여기서 내 질문은 마지막 제안이 타원에 대해서만 모든 평행 접선 쌍에 대해 사실 이고 다른 모양 은 없는지 여부입니다 .
추신 : 현재 목적을 위해 "접선"을 "접촉하지만 경계를 넘지 않는"으로 정의합시다. 그런 다음 직사각형의 모서리를 통과하는 사선은 "접선"이며 직사각형이 관심 속성을 가진 다른 모양의 예가 아님을 알 수 있습니다.
PPS : 좋습니다. 문제에 대한 설명을 조금 수정하겠습니다. 평면에서 내부가 비어 있지 않은 닫힌 경계 세트를 고려하십시오. 완전히 볼록하다고 가정합니다. 즉, 두 점 사이의 모든 점이 내부 점 중 하나입니다. 이것은 경계를 교차하지만 내부가 아닌 선이 한 지점에서만 교차한다는 것을 의미합니다. 그러한 선을 접선이라고 부릅니다. 모든 접선에 대해 정확히 하나의 다른 접선이 평행합니다. 이 둘에 평행하고 그 사이에있는 모든 선에 대해 닫힌 경계 볼록 세트와 해당 선의 교차점의 중간 점이 두 접선 점을 연결하는 선에 있다고 가정합니다.
닫힌 경계 세트가 타원의 볼록 껍질을 따르는가?
답변
주어진 탄젠트 속성을 가진 모든 닫힌 볼록 조각 별 미분 곡선은 타원입니다.
Proof : 문제는 곡선에 주어진 속성이 있으면 그것의 아핀 변환도 마찬가지라는 의미에서 아핀입니다. 따라서 곡선의 가장 넓은 범위에서 한 쌍의 접선으로 시작하여 회전을 사용하여 접선을 수직으로 만들고 전단을 사용하여 곡선을 $\mathcal{C}$ 대칭 선은 $x$-중심선.
이제 수평 접선 쌍을 $\mathcal{C}$, 수직으로 다른 두 지점에서 만납니다. 이 수직선이$y$중심선. 그때 $\mathcal{C}$ 둘 다에 대해 대칭입니다 $x$ 과 $y$축. 이 축을 따라 크기를 조정하면 절편이$1$. 다른 모든 점에는 반경이 많아야합니다.$1$, 그런데 원래 접선이 선택되었습니다.
제안 1. $\mathcal{C}$ 균형을 이룹니다. $x\in \mathcal{C}\implies -x\in\mathcal{C}$.
이것은 두 개의 수직 축을 따라 대칭에서 직접 따릅니다.
따라서 접선 쌍이 주어지면 접점을 연결하는 선이 원점을 통과합니다.
명제 2. 곡선은 미분 할 수 있습니다.
원점을 통과하는 선으로 반대쪽 모서리를 연결합니다. 그때$\mathcal{C}$ 두 세트의 평행선을 따라이 선에서 동일한 거리를 가지므로 모순이 생깁니다.
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발의안 3. $\mathcal{C}$ 반경 포함 $1$ 수직 접선이 있습니다.
반경이 최대 인 점 $r(\theta)=1$ 있어야한다 $r'=0$.
제안 4. If $OA$ 과 $OB$ 반지름이 $1$ 각도 이등분도 $OC$.
접선 평행 $AB$ 어떤 지점에서 커브에 닿습니다. $C$. 라인$OC$ 컷 $AB$ 가설에 의해 절반으로, 따라서 중앙값과 각도 이등분 $AOB$, 및 수직 $AB$. 그러므로$\mathcal{C}$ 대칭이다 $OC$ 그래서 접선은 $C$ 에 수직이다 $OC$.
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접선을 $C$ 접선을 만나다 $A$ 그 시점에 $P$. 접선에 평행 한 고려$AC$ 그리고 라인 $Q'OQ$반대 접선을 결합합니다. 이 선은 중간 지점을 통과합니다.$AC$가설에 의해. 한계에 가까운 지점$A'$ 의 위에 $AP$ 과 $C'$ 의 위에 $CP$ 와 $A'C'$ ~와 평행 한 $AC$ 또한 $OQ$ 이후 $AP$ 과 $CP$ 접선이다 $\mathcal{C}$. 그러나 이것은$OQ$ 중앙값 $APC$, 따라서 $Q$ 에 $OP$. 이후$OAPC$ 지름이있는 순환 사변형입니다. $OP$, 이등분 코드 $AC$ 에 수직이다 $OP$ 그래서 $OC=OA=1$.
제안 5. $\mathcal{C}$ 원입니다.
이후 $x$ 과 $y$ 요격에는 반경이 있습니다 $1$, 하나는 각도 이등분선을 계속 취하여 밀도가 높은 반경 지점 세트를 형성 할 수 있습니다. $1$. 연속성에 따라 모든 점은 동일한 반경을 갖습니다.
따라서 원래 곡선은 원, 즉 타원의 아핀 변환입니다.