타원, 포물선 및 쌍곡선 Riemann 곡면 : 분류?
Riemann 표면에 대한 Kra와 Farkas의 책에서 다음과 같은 (약간 특이한) 정의가 제공됩니다.
정의 IV.3.2 ( 섹션 IV.3 ). 허락하다$M$리만 표면이어야합니다. 우리는 부를 것이다$M$ 타원 경우에만$M$컴팩트합니다. 우리는 부를 것이다$M$ 포물선 경우에만,$M$ 콤팩트하지 않고 $M$음이 아닌 저조 파 기능을 수행하지 않습니다. 우리는 부를 것이다$M$ 쌍곡선 경우에만,$M$ 음의 비 상수 저조 파 기능을 수행합니다.
질문. 포물선 및 쌍곡선 표면을 특성화하는 기하학적 방법이 있습니까? 예를 들어,$M$ 컴팩트 한 Riemann 표면이며 $x_1,\ldots, x_n$그것에 대한 포인트입니다. 표면입니다$M\setminus \{x_1,\ldots, x_n\}$ 비유담 같은?
답변
이것은 다소 특이한 용어이지만 개방형 리만 표면의 분류 이론에서 일반적입니다. 더 표준적인 표기법은$P_G$ "포물선"및 $O_G$ "하이퍼 볼릭"을 위해.
표면 $M\backslash\{ x_1,\ldots,x_n\}$ 이 의미에서 "제거 가능한 특이점 정리"에 의해 포물선 적입니다 (점의 구멍이 난 이웃에서 위에서 경계를 이루는 서브 하모닉 함수는 전체 이웃의 서브 하모닉 함수로 확장됩니다).
특히 형태의 표면에 대한 몇 가지 기준이 있습니다. $M\backslash E$, 어디 $M$ 작고 $E$닫힌 하위 집합입니다. 그러나 이러한 기준은 그다지 기하학적이지 않습니다. 용량을 사용합니다. 일부 결과는 Hausdorff 측정 값으로 제공 될 수 있습니다.$E$ 그러나 그들은 "필요하고 충분하지 않다".
고전적인 결과는 책에서 찾을 수 있습니다.
M. Tsuji, 현대 함수 이론의 잠재적 이론, Maruzen, Tokyo, 1959 (AMS 재판이 있습니다).
Ahlfors, Sario, Riemann surface, Princeton UP, 1960.