테일러 확장을 사용한 제한 : 어떤 항을 확장합니까?

Question

한계를 확인하고 싶어 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )}$ Taylor 확장을 사용합니다.

다음을 수행했습니다. $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )=\lim_{n\rightarrow +\infty}\text{exp}\left (\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}\right )=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left (\frac{(n-1)^2}{n^2+1}\right )^{\frac{n}{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{(n-1)^n}{\left (n^2+1\right )^{\frac{n}{2}}}$$

어떤 항에 대해 Taylor 확장을 써야합니까?

Answer 1

우리는

$$\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}=1-\frac{2n}{n^2+1}$$

그런 다음 첫 번째 순서 Taylor의 확장으로 시작할 수 있습니다. $\log(1+x)$ 얻기 위해

$$\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )=\ln\left (1-\frac{2n}{n^2+1}\right )=-\frac{2n}{n^2+1}+O\left(\frac1{n^2}\right)$$

그때

$$\text{exp}\left (\frac{n}{2}\ln\left (\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right )\right )=\text{exp}\left( -\frac{n^2}{n^2+1}+O\left(\frac1{n}\right)\right)\to e^{-1}$$

이 경우 1 차 확장으로 충분합니다.

일반적으로 우리가 확장해야 할 순서를 사전 에 결정하는 방법은 없지만 몇 가지 연습 후에는 표준 제한에 대해 상대적으로 쉬워집니다.

Answer 2

대수 확장 $$ \ln\left(\frac{n^2-2n+1}{n^2+1}\right)=\ln\left (1-\frac{2n}{n^2+1}\right)=-\frac{2n}{n^2+1}+\ldots $$