특정 시퀀스 공간의 반전 가능한 맵

Question

에 대한 $a\in\mathbb R$, 허락하다 $h_a$ 다음에 의해 정의 된 시퀀스의 힐베르트 공간 $$ h_a=\left\{(x_n):\sum_{n\in\mathbb Z}(1+n^2)^a|x_n|^2<\infty\right\}$$ 및 내부 제품 $\langle(x_n),(y_n)\rangle_a=\sum_{n\in\mathbb Z}(1+n^2)^ax_n\overline{y_n}$.

기능 정의 $f:h_{-a}\to(h_a)^*$ 으로 $$ f\big((x_n)\big)((y_n))=\sum_{n\in\mathbb Z}x_ny_n, $$ 어디 $(x_n)\in h_{-a}$ 과 $(y_n)\in h_a$. 증명

1. $f((a_n))$ 에 대한 함수로 잘 정의되어 있습니다. $(h_a)^*$.
2. $f$ 가역적이고 연속적인 선형 맵이며 제한된 역을 가지고 있습니다.

시도 : 나는 이미 시리즈가 $\sum x_ny_n$ 수렴 : if $(x_n)\in h_{-a}$ 과 $(y_n)\in h_a$ 그때 $$ \sum(1+n^2)^{-a}|x_n|^2<\infty,\qquad\sum(1+n^2)^a|y_n|^2<\infty, $$ 그래서 Cauchy-Schwarz에 의해 $$ \begin{aligned} \left|\sum|x_ny_n|\right|^2&=\left|\sum((1+n^2)^{-a/2}|x_n|)((1+n^2)^{a/2}|y_n|)\right|^2\\ &\leq\left(\sum\left|((1+n^2)^{-a/2}|x_n|)^2\right|\right)\left(\sum\left|((1+n^2)^{a/2}|y_n|)^2\right|\right)\\ &<\infty, \end{aligned} $$ 즉 $\sum x_ny_n$ 수렴합니다.

그것을 보여주기 위해 $f$ 의 기능입니다 $h_{-a}$ ...에 $(h_a)^*$, 어떻게 든 보여줄 필요가 있다고 생각합니다 $f((x_n))$연속 선형 함수입니다. 그$f$선형이라는 것은 분명하지만 연속적인 것을 보여주는 방법을 모르겠습니다. 연속성을 보여주는 한 가지 방법은 경계를 나타내는 것임을 알고 있지만 그 방향으로 진행하는 방법도 모릅니다. Part (2)의 경우 시작 방법도 잘 모르겠습니다. 특히 역 맵이 무엇인지 시각화하는 데 문제가 있습니다.$(h_a)^*$ ...에 $h_{-a}$ 처럼 보일 것입니다.

이 문제에 대한 도움이나 힌트를 주시면 대단히 감사하겠습니다. 미리 감사드립니다.

Answer 1

당신은 증명했습니다 $|f((x_n)) ((y_n))| \leq \|(x_n)\|\|(y_n)\|$규범이 적절한 공간을 차지하는 곳. 이것은$\|f((x_n))\|\leq \|(x_n))\|$ 따라서 $f$ 풍부한 연산자입니다 $\|f\|\leq 1$.

두 번째 부분에 대한 힌트 : $f$주사제입니다. 그것을 보여주기 위해$f$개미의 요소가 $h_a^{*}$ 내적에 의해 주어집니다. $h_a$. 이것은 Riesz 정리에 따릅니다. 공간의 완성도$h_a$ 완전성을 증명하는 방식으로 정확히 증명 될 수 있습니다. $\ell^{p}$공백. 따라서 각각$h_a$ Hilbert 공간이고 Riesz Theorem이 적용됩니다.