특정 시퀀스 공간의 밀도

Question

에 대한 $a\in\mathbb R$, 허락하다 $h_a$ 다음에 의해 정의 된 시퀀스의 힐베르트 공간 $$ h_a=\left\{(x_n):\sum_{n\in\mathbb Z}(1+n^2)^a|x_n|^2<\infty\right\}$$ 및 내부 제품 $\langle(x_n),(y_n)\rangle_a=\sum_{n\in\mathbb Z}(1+n^2)^ax_n\overline{y_n}$.

증명한다면 $b>a$ 그때 $h_b$ 밀도가 높다 $h_a$.

시도 : 지금까지 $b>a$ 그때 $h_b\subset h_a$. 그러나 나는 그것을 어떻게 보여줄지에 대한 명확한 생각이 없습니다.$h_b$ 밀도가 높다 $h_a$. 아마도 모든 요소에 대해$h_a$ 순서가있다 $h_b$그것에 수렴; 그 이상으로 갇혀 있습니다.

이 질문에 대한 도움이나 안내를 주시면 대단히 감사하겠습니다. 감사합니다!

Answer 1

허락하다 $(x_n) \in h_a$. 허락하다$y_n=x_n$ ...에 대한 $|n| \leq N$ 과 $y_n=0$ ...에 대한 $|n| >N$. 그때$(y_n) \in h_b$. 이제 표준$(x_n-y_n)$ 에 $h_a$ 이다 $\sqrt {\sum_{|n|>N} (1+n)^{a}|x_n|^{2}}$. 시리즈의 것을 상기$\sum c_n$ 음이 아닌 숫자의 수는 다음보다 수렴합니다. $\sum_{|n|>N|} c_n \to 0$ 같이 $ N \to \infty$. 따라서 주어진$\epsilon >0$ 우리는 찾을 수있어 $N$ 그런 $\|(x_n)-(y_n)\| <\epsilon$.